题目

设随机变量X~N(8,4)求P(|X-8|﹤1)和P(X≤12)。(已知ϕ(0.5)=0.6915,ϕ(1.0)=0.8413,ϕ(2.0)=0.9773)

设随机变量X~N(8,4)求P(|X-8|﹤1)和P(X≤12)。(已知(0.5)=0.6915,

(1.0)=0.8413,(2.0)=0.9773)

题目解答

答案

解:因为~~N(0,1).

所以, p(|X-8|﹤1)﹤

P(X≤12)==0.9773

解析

本题考查正态分布的性质以及标准正态分布的概率计算。解题的关键思路是将一般正态分布通过标准化变换转化为标准正态分布，然后利用已知的标准正态分布函数值来计算相应的概率。

计算 $P(|X - 8| \lt 1)$

  1. 已知随机变量 $X\sim N(8,4)$，根据正态分布的标准化公式，若 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则 $Y = \frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$。在本题中，$\mu = 8$，$\sigma=\sqrt{4} = 2$，所以 $Y=\frac{X - 8}{2}\sim N(0,1)$。
  2. 对 $P(|X - 8| \lt 1)$ 进行变形：
    • $P(|X - 8| \lt 1)=P(-1\lt X - 8\lt 1)$。
    • 不等式两边同时除以 $\sigma = 2$，得到 $P(\frac{-1}{2}\lt\frac{X - 8}{2}\lt\frac{1}{2})$，即 $P(-0.5\lt Y\lt 0.5)$。
  3. 根据标准正态分布的性质，$P(-0.5\lt Y\lt 0.5)=\varPhi(0.5)-\varPhi(-0.5)$。
    • 又因为标准正态分布函数 $\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，所以 $\varPhi(-0.5)=1 - \varPhi(0.5)$。
    • 则 $P(-0.5\lt Y\lt 0.5)=\varPhi(0.5)-(1 - \varPhi(0.5))=2\varPhi(0.5)-1$。
    • 已知 $\varPhi(0.5)=0.6915$，代入可得 $2\times0.6915 - 1=1.383-1 = 0.383$。

计算 $P(X\leqslant12)$

  1. 同样利用标准化变换，$P(X\leqslant12)=P(\frac{X - 8}{2}\leqslant\frac{12 - 8}{2})$。
  2. 计算 $\frac{12 - 8}{2}=\frac{4}{2}=2$，所以 $P(X\leqslant12)=P(Y\leqslant2)$。
  3. 对于标准正态分布 $Y\sim N(0,1)$，$P(Y\leqslant2)=\varPhi(2)$。
  4. 已知 $\varPhi(2)=0.9773$，所以 $P(X\leqslant12)=0.9773$。