设f'(e^x)=sin x,求f(x)的表达式.
题目解答
答案
令 $ e^x = t $，则 $ x = \ln t $。由题意 $ f'(e^x) = \sin x $，可得 $ f'(t) = \sin(\ln t) $。
对 $ f'(t) $ 积分得：
$f(t) = \int \sin(\ln t) \, dt$
使用分部积分法，设 $ u = \sin(\ln t) $，$ dv = dt $，则 $ du = \frac{\cos(\ln t)}{t} dt $，$ v = t $。
$f(t) = t \sin(\ln t) - \int t \cdot \frac{\cos(\ln t)}{t} \, dt = t \sin(\ln t) - \int \cos(\ln t) \, dt$
再次对 $ \int \cos(\ln t) \, dt $ 使用分部积分，设 $ u = \cos(\ln t) $，$ dv = dt $，则 $ du = -\frac{\sin(\ln t)}{t} dt $，$ v = t $。
$\int \cos(\ln t) \, dt = t \cos(\ln t) + \int \sin(\ln t) \, dt = t \cos(\ln t) + f(t)$
将结果代入得：
$f(t) = t \sin(\ln t) - \left( t \cos(\ln t) + f(t) \right)$
整理得：
$2f(t) = t \sin(\ln t) - t \cos(\ln t)$
$f(t) = \frac{t}{2} \left( \sin(\ln t) - \cos(\ln t) \right) + C$
将 $ t $ 替换为 $ x $，得：
$f(x) = \frac{x}{2} \left( \sin(\ln x) - \cos(\ln x) \right) + C$
答案：
$f(x) = \frac{x}{2} \left( \sin(\ln x) - \cos(\ln x) \right) + C$