题目
六、应用题(本题8分)甲在上班路上所需的时间(单位:分钟)X~N(50,100).已知上班时间为早晨8点,他每天早上7点出门,试求:(1)甲迟到的概率;(2)某周(以五天计)甲最多迟到一次的概率。((1)=0.8413,(1.96)=0.9750,(2.5)=0.9938)
六、应用题(本题8分)
甲在上班路上所需的时间(单位:分钟)X~N(50,100).已知上班时间为早晨8点,他每天早上7点出门,试求:
(1)甲迟到的概率;
(2)某周(以五天计)甲最多迟到一次的概率。
(
(1)=0.8413,(1.96)=0.9750,(2.5)=0.9938)
题目解答
答案
:(1)甲迟到意味着他上班路上花费的时间大于60分钟,因此迟到的概率为
(1)=0.1587
(2)设Y表示5天中迟到的天数,则Y~b(5,0.1587),最多迟到一天的概率为
=
=
0.8189
解析
步骤 1：计算甲迟到的概率
甲迟到意味着他上班路上花费的时间大于60分钟。由于X~N(50,100)，即X的均值为50分钟，方差为100，标准差为10分钟。因此，迟到的概率为
$P(X > 60) = P\left(\frac{X - 50}{10} > \frac{60 - 50}{10}\right) = P(Z > 1)$
其中Z是标准正态分布的随机变量。根据标准正态分布表，$P(Z > 1) = 1 - P(Z \leq 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$。
步骤 2：计算某周甲最多迟到一次的概率
设Y表示5天中迟到的天数，则Y~b(5,0.1587)，即Y服从二项分布，其中n=5，p=0.1587。最多迟到一天的概率为
$P(Y \leq 1) = P(Y = 0) + P(Y = 1)$
$= {0.8413}^{5} + {C}_{5}^{1}{(0.1587)}^{1}{(0.8413)}^{4}$
$= 0.8413^5 + 5 \times 0.1587 \times 0.8413^4$
$= 0.4437 + 0.3752$
$= 0.8189$
甲迟到意味着他上班路上花费的时间大于60分钟。由于X~N(50,100)，即X的均值为50分钟，方差为100，标准差为10分钟。因此，迟到的概率为
$P(X > 60) = P\left(\frac{X - 50}{10} > \frac{60 - 50}{10}\right) = P(Z > 1)$
其中Z是标准正态分布的随机变量。根据标准正态分布表，$P(Z > 1) = 1 - P(Z \leq 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$。
步骤 2：计算某周甲最多迟到一次的概率
设Y表示5天中迟到的天数，则Y~b(5,0.1587)，即Y服从二项分布，其中n=5，p=0.1587。最多迟到一天的概率为
$P(Y \leq 1) = P(Y = 0) + P(Y = 1)$
$= {0.8413}^{5} + {C}_{5}^{1}{(0.1587)}^{1}{(0.8413)}^{4}$
$= 0.8413^5 + 5 \times 0.1587 \times 0.8413^4$
$= 0.4437 + 0.3752$
$= 0.8189$