题目
6.在总体N(12,4)中随机地抽取一容量为5的样本X1,X2,···,X5·-|||-(1)求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率;-|||-(2)求概率 max({X)_(1),(X)_(2,),... ,(X)_(5))gt 15} ;-|||-(3)求概率 min({X)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(5))lt 10} .
题目解答
答案
解析
步骤 1：求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率
样本均值 $\bar{X}$ 服从正态分布 $N(12, \frac{4}{5})$，因为总体均值为12，方差为4，样本容量为5。样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率可以表示为 $P(|\bar{X} - 12| > 1)$。这等价于求 $P(\bar{X} < 11)$ 和 $P(\bar{X} > 13)$ 的和。由于 $\bar{X}$ 服从 $N(12, \frac{4}{5})$，我们可以通过标准化转换为标准正态分布 $N(0,1)$，然后使用标准正态分布表来求解。
步骤 2：求概率 $P\{ max({X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{5})\gt 15\} $
由于每个 $X_i$ 都独立地服从 $N(12,4)$，$max(X_1, X_2, \cdots, X_5)$ 大于15的概率等于1减去所有 $X_i$ 都小于等于15的概率。即 $P\{ max({X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{5})\gt 15\} = 1 - P\{ X_1 \leq 15, X_2 \leq 15, \cdots, X_5 \leq 15\} = 1 - P\{ X_1 \leq 15\}^5$。由于 $X_i$ 服从 $N(12,4)$，我们可以通过标准化转换为标准正态分布 $N(0,1)$，然后使用标准正态分布表来求解。
步骤 3：求概率 $P\{ min({X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{5})\lt 10\} $
由于每个 $X_i$ 都独立地服从 $N(12,4)$，$min(X_1, X_2, \cdots, X_5)$ 小于10的概率等于1减去所有 $X_i$ 都大于等于10的概率。即 $P\{ min({X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{5})\lt 10\} = 1 - P\{ X_1 \geq 10, X_2 \geq 10, \cdots, X_5 \geq 10\} = 1 - P\{ X_1 \geq 10\}^5$。由于 $X_i$ 服从 $N(12,4)$，我们可以通过标准化转换为标准正态分布 $N(0,1)$，然后使用标准正态分布表来求解。
样本均值 $\bar{X}$ 服从正态分布 $N(12, \frac{4}{5})$，因为总体均值为12，方差为4，样本容量为5。样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率可以表示为 $P(|\bar{X} - 12| > 1)$。这等价于求 $P(\bar{X} < 11)$ 和 $P(\bar{X} > 13)$ 的和。由于 $\bar{X}$ 服从 $N(12, \frac{4}{5})$，我们可以通过标准化转换为标准正态分布 $N(0,1)$，然后使用标准正态分布表来求解。
步骤 2：求概率 $P\{ max({X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{5})\gt 15\} $
由于每个 $X_i$ 都独立地服从 $N(12,4)$，$max(X_1, X_2, \cdots, X_5)$ 大于15的概率等于1减去所有 $X_i$ 都小于等于15的概率。即 $P\{ max({X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{5})\gt 15\} = 1 - P\{ X_1 \leq 15, X_2 \leq 15, \cdots, X_5 \leq 15\} = 1 - P\{ X_1 \leq 15\}^5$。由于 $X_i$ 服从 $N(12,4)$，我们可以通过标准化转换为标准正态分布 $N(0,1)$，然后使用标准正态分布表来求解。
步骤 3：求概率 $P\{ min({X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{5})\lt 10\} $
由于每个 $X_i$ 都独立地服从 $N(12,4)$，$min(X_1, X_2, \cdots, X_5)$ 小于10的概率等于1减去所有 $X_i$ 都大于等于10的概率。即 $P\{ min({X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{5})\lt 10\} = 1 - P\{ X_1 \geq 10, X_2 \geq 10, \cdots, X_5 \geq 10\} = 1 - P\{ X_1 \geq 10\}^5$。由于 $X_i$ 服从 $N(12,4)$，我们可以通过标准化转换为标准正态分布 $N(0,1)$，然后使用标准正态分布表来求解。