(本小题满分12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97,s==≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(﹣3,+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣3σ

解:(1)由题可知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,

则落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的概率为1﹣0.9974=0.0026,

因为P(X=0)=×(1﹣0.9974)×0.997416≈0.9592,

所以P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,

又因为X~B(16,0.0026),

所以E(X)=16×0.0026=0.0416;

(2)(ⅰ)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(﹣3+3)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(﹣3+3)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.

(ⅱ)由=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为=9.97,σ的估计值为=0.212,由样本数据可以看出一个

零件的尺寸在(﹣3+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.

剔除(﹣3+3)之外的数据9.22,剩下的数据的平均数为

(16×9.97﹣9.22)=10.02,

因此μ的估计值为10.02.

2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,

剔除(﹣3+3)之外的数据9.22,剩下的数据的样本方差为

(1591.134﹣9.222﹣15×10.022)≈0.008,

因此σ的估计值为≈0.09.