题目
【题目】将一枚硬币掷3次,以X表示前2次中出现H的次数,以Y表示3次中出现H的次数求X,Y的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律
【题目】将一枚硬币掷3次,以X表示前2次中出现H的次数,以Y表示3次中出现H的次数求X,Y的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律
题目解答
答案
【解析】解法(i)将试验的样本空间及X,Y取值的情况列表如下:样本点HHH THH HTT THT TTH X的值22:111100Y的值32221110X所有可能取的值为0,1,2;Y所有可能取的值为0,1,2,3,由于试验属等可能概型,容易得到(X,Y)取(,),i=0,1,2;j=0,1,2,3的概率.例如P(X=1,Y=2)-8-.P(X=2,Y=3)-8P{X=1,Y=3}=0可得X和Y的联合分布律和(X,Y)的边缘分布律如下表所示X012=Y0言00102言30018PIX-i)解法(i)X~b(2,),Y所有可能取的值为0,1,2,3.而当X=i(i=0,1,2)时,Y取i的概率为,Y取i+1的概率也是,取i,i+1以外的值是不可能的(因第三次投掷不是出现H就是出现T)知PX=)=(),i=01,2,故知P{X=0,Y=0}=P(Y=0|X=0}P(X=0P(X=0=-PX=0,Y=1}=P(Y=1|X=0}PX=0P(X-0)--P{X=1,Y=1}=P{Y=1|X=1}P{X=1}P(x=1)=P(X=1,Y=2}=P{Y=2|X=1}PX=1P(-1-PX=2,Y=2=P(Y=2X=2}P{X=2P(x-2)P(X=2,Y=3)=P(Y=3X=2PX=2x=P(X=0,Y=2}=P(X=0,Y=3=P(X=1,Y=0)=PX=1,Y=3}=PX=2,Y=0=P{X=2,Y=1}=0所得X和Y的联合分布律与解法(i)相同,即为上表所示
解析
【解析】
步骤 1：确定X和Y的可能取值
X表示前2次中出现H的次数，因此X的可能取值为0, 1, 2。
Y表示3次中出现H的次数，因此Y的可能取值为0, 1, 2, 3。
步骤 2：计算联合分布律
由于硬币是公平的，每次投掷出现H的概率为1/2，出现T的概率也为1/2。因此，我们可以列出所有可能的样本点及其对应的X和Y的值，并计算每个样本点的概率。
样本点：HHH, THH, HTH, HTT, TTH, THT, TTT
X的值：2, 1, 1, 1, 1, 0, 0
Y的值：3, 2, 2, 1, 1, 1, 0
每个样本点的概率为1/8，因为每次投掷是独立的，且每次投掷出现H或T的概率都是1/2。
步骤 3：计算联合分布律和边缘分布律
根据步骤2中的样本点和概率，我们可以计算出X和Y的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律。
联合分布律：
P(X=0,Y=0) = 1/8
P(X=0,Y=1) = 1/8
P(X=0,Y=2) = 0
P(X=0,Y=3) = 0
P(X=1,Y=0) = 0
P(X=1,Y=1) = 1/8
P(X=1,Y=2) = 1/8
P(X=1,Y=3) = 0
P(X=2,Y=0) = 0
P(X=2,Y=1) = 0
P(X=2,Y=2) = 1/8
P(X=2,Y=3) = 1/8
边缘分布律：
P(X=0) = 1/4
P(X=1) = 1/2
P(X=2) = 1/4
P(Y=0) = 1/8
P(Y=1) = 3/8
P(Y=2) = 3/8
P(Y=3) = 1/8
步骤 1：确定X和Y的可能取值
X表示前2次中出现H的次数，因此X的可能取值为0, 1, 2。
Y表示3次中出现H的次数，因此Y的可能取值为0, 1, 2, 3。
步骤 2：计算联合分布律
由于硬币是公平的，每次投掷出现H的概率为1/2，出现T的概率也为1/2。因此，我们可以列出所有可能的样本点及其对应的X和Y的值，并计算每个样本点的概率。
样本点：HHH, THH, HTH, HTT, TTH, THT, TTT
X的值：2, 1, 1, 1, 1, 0, 0
Y的值：3, 2, 2, 1, 1, 1, 0
每个样本点的概率为1/8，因为每次投掷是独立的，且每次投掷出现H或T的概率都是1/2。
步骤 3：计算联合分布律和边缘分布律
根据步骤2中的样本点和概率，我们可以计算出X和Y的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律。
联合分布律：
P(X=0,Y=0) = 1/8
P(X=0,Y=1) = 1/8
P(X=0,Y=2) = 0
P(X=0,Y=3) = 0
P(X=1,Y=0) = 0
P(X=1,Y=1) = 1/8
P(X=1,Y=2) = 1/8
P(X=1,Y=3) = 0
P(X=2,Y=0) = 0
P(X=2,Y=1) = 0
P(X=2,Y=2) = 1/8
P(X=2,Y=3) = 1/8
边缘分布律：
P(X=0) = 1/4
P(X=1) = 1/2
P(X=2) = 1/4
P(Y=0) = 1/8
P(Y=1) = 3/8
P(Y=2) = 3/8
P(Y=3) = 1/8