求y=ln ( x+sqrt(1+({x)^2)} )的导数．

步骤 1：确定函数形式
给定函数为$y=\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)$，这是一个复合函数，其中外层函数为自然对数函数，内层函数为$x+\sqrt{1+{{x}^{2}}}$。

步骤 2：应用链式法则
根据链式法则，复合函数的导数等于外层函数的导数乘以内层函数的导数。因此，我们需要分别求出外层函数和内层函数的导数。

步骤 3：计算外层函数的导数
外层函数为$\ln(u)$，其中$u=x+\sqrt{1+{{x}^{2}}}$。外层函数的导数为$\frac{1}{u}$。

步骤 4：计算内层函数的导数
内层函数为$x+\sqrt{1+{{x}^{2}}}$。内层函数的导数为$1+\frac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}$。

步骤 5：应用链式法则
将外层函数的导数与内层函数的导数相乘，得到$y^\prime=\frac{1}{x+\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\cdot\left(1+\frac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\right)$。

步骤 6：简化表达式
将表达式简化为$y^\prime=\frac{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}$。