例1 设随机变量(X,Y)在区域D=(x,y)mid xgeqslant 0,ygeqslant 0,x+yleqslant 1上服从均匀分布，(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则F((1)/(2),y)=(3)/(4)成立，y的充要条件是____.

考查要点：本题主要考查二维均匀分布的联合分布函数计算，以及分情况讨论积分区域的能力。

解题核心思路：

1. 确定区域形状：区域$D$是直角三角形，顶点为$(0,0)$、$(1,0)$、$(0,1)$，面积为$\frac{1}{2}$，故联合概率密度函数$f(x,y)=2$。
2. 分段讨论$y$的取值范围：根据$y$的不同区间，积分区域会变化，需分情况计算$F\left(\frac{1}{2}, y\right)$。
3. 关键点：当$y \geq 1$时，积分区域覆盖所有满足$x \leq \frac{1}{2}$的部分，概率恒为$\frac{3}{4}$。

分情况讨论$F\left(\frac{1}{2}, y\right)$

当$y \leq 0$时

此时$Y \leq y$的概率为$0$，故$F\left(\frac{1}{2}, y\right) = 0$。

当$0 < y \leq \frac{1}{2}$时

积分区域为矩形$x \in [0, \frac{1}{2}]$，$y \in [0, y]$，面积为$\frac{1}{2} \cdot y$，概率为：
$F\left(\frac{1}{2}, y\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot y = y$
此时$F\left(\frac{1}{2}, y\right) \leq \frac{1}{2}$，无法等于$\frac{3}{4}$。

当$\frac{1}{2} < y \leq 1$时

积分区域分为两部分：

1. 下部分：$x \in [0, \frac{1}{2}]$，$y \in [0, \frac{1}{2}]$，面积为$\frac{1}{4}$。
2. 上部分：$x \in [0, 1 - y]$，$y \in [\frac{1}{2}, y]$，面积为$\int_{\frac{1}{2}}^{y} (1 - y) \, dy$。

总概率为：
$F\left(\frac{1}{2}, y\right) = 2 \left[ \frac{1}{4} + \int_{\frac{1}{2}}^{y} (1 - y) \, dy \right] = 2 \left[ \frac{1}{4} + \left( y - \frac{y^2}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \right) \right]$
化简得：
$F\left(\frac{1}{2}, y\right) = -y^2 + 2y - \frac{1}{4}$
令其等于$\frac{3}{4}$，解得$y = 1$。

当$y > 1$时

此时积分区域覆盖所有$x \leq \frac{1}{2}$的部分，概率恒为$\frac{3}{4}$。