题目

[毕萨]如图一带电圆环电荷线密度为 ,以角速度转动,求轴线上任意一点磁感应强度B

[毕萨]如图一带电圆环电荷线密度为 $\lambda$ ,以 $\omega$ 角速度转动,求轴线上任意一点磁感应强度B

题目解答

答案

将带电圆环分割成许多小段，每一小段可视为一个电流元。

对于圆环上的一小段 dl ，其带电量为 dq = λ dl 。

由于圆环以角速度 ω 转动，周期 T = 2π/ω ，所以电流 I = dq/T = (λ dl)ω/(2π) 。

根据毕奥 - 萨伐尔定律，电流元 Idl 在轴线上某点 P 产生的磁感应强度 dB 为：

dB = (μ₀/4π) × (Idl × r) / r²

其中 r 是电流元到 P 点的距离，对于轴线上的点，r = √(R² + x²) ，R 为圆环半径，x 为 P 点到圆环圆心的距离。

由于圆环上各电流元在轴线 P 点产生的 dB 方向相同，都是沿着轴线方向，所以只需要考虑 dB 在轴线方向的分量。

dB 的轴线分量为 dBx = dB cosθ ，cosθ = x / r 。

对整个圆环积分，可求得轴线上任意一点的磁感应强度 B 。

设圆环半径为 R ，对整个圆环积分得：

$B=\int_{ }^{ }dBx$

$=\int_{ }^{ }\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idl\times r}{r^2}\times\frac{x}{r}$

$=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{ }^{ }\frac{I\times x\times dl}{(R^2+x^2)^{3/2}}$

$=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{ }^{ }\frac{(\lambda\omega/(2\pi))\times x\times dl}{(R^2+x^2)^{3/2}}$

$=\frac{\mu_0\omega\lambda x}{4\pi}\int_0^{2\pi R}\frac{dl}{(R^2+x^2)^{3/2}}$

$=\frac{\mu_0\omega\lambda x}{2}\int_0^{2\pi}\frac{Rd\theta}{(R^2+x^2)^{3/2}}$

$=\frac{\mu_0\omega\lambda x}{2}\frac{2\pi R}{(R^2+x^2)^{3/2}}$

$=\frac{\mu_0\omega\lambda R^2x}{(R^2+x^2)^{3/2}}$

答案：轴线上任意一点磁感应强度 $B=\frac{\mu_0\omega\lambda R^2x}{(R^2+x^2)^{3/2}}$ .

解析

步骤 1：电流元的确定
将带电圆环分割成许多小段，每一小段可视为一个电流元。对于圆环上的一小段 dl，其带电量为 dq = λ dl。由于圆环以角速度 ω 转动，周期 T = 2π/ω，所以电流 I = dq/T = (λ dl)ω/(2π)。

步骤 2：磁感应强度的计算
根据毕奥 - 萨伐尔定律，电流元 Idl 在轴线上某点 P 产生的磁感应强度 dB 为：dB = (μ₀/4π) × (Idl × r) / r²。其中 r 是电流元到 P 点的距离，对于轴线上的点，r = √(R² + x²)，R 为圆环半径，x 为 P 点到圆环圆心的距离。由于圆环上各电流元在轴线 P 点产生的 dB 方向相同，都是沿着轴线方向，所以只需要考虑 dB 在轴线方向的分量。dB 的轴线分量为 dBx = dB cosθ，cosθ = x / r。

步骤 3：积分求解
对整个圆环积分，可求得轴线上任意一点的磁感应强度 B。设圆环半径为 R，对整个圆环积分得：B = dBx = ∫(μ₀/4π) × (Idl × r) / r² × (x / r) = ∫(μ₀/4π) × (λ dl × ω / (2π) × x) / (R² + x²)^(3/2) = (μ₀ωλx / 2) × ∫(Rdθ / (R² + x²)^(3/2)) = (μ₀ωλx / 2) × (2πR / (R² + x²)^(3/2)) = (μ₀ωλR²x / (R² + x²)^(3/2))。