X_(1),X_(2),X_(3),X_(4) 均为正态分布 N(0,sigma^2). 则 (X_(1)-X_(2))/(|X_(3)+X_{4)|} 服从什么分布? A.chi^2 B.t C.t D.chi^2

为了确定随机变量$\frac{X_1 - X_2}{|X_3 + X_4|}$的分布，我们需要分析分子和分母的分布，然后使用正态分布和卡方分布的性质。 1. **分子的分布：** $X_1$和$X_2$都是正态分布$N(0, \sigma^2)$。两个正态分布随机变量的差也是正态分布。具体来说，$X_1 - X_2 \sim N(0, 2\sigma^2)$。 2. **分母的分布：** $X_3$和$X_4$都是正态分布$N(0, \sigma^2)$。两个正态分布随机变量的和也是正态分布。具体来说，$X_3 + X_4 \sim N(0, 2\sigma^2)$。绝对值$ |X_3 + X_4| $的分布是 folded normal distribution，但我们可以使用$\frac{(X_3 + X_4)^2}{2\sigma^2} \sim \chi^2(1)$这一事实。 3. **组合分布：** 我们需要找到$\frac{X_1 - X_2}{|X_3 + X_4|}$的分布。让我们重写这个表达式： \[ \frac{X_1 - X_2}{|X_3 + X_4|} = \frac{\frac{X_1 - X_2}{\sigma\sqrt{2}}}{\frac{|X_3 + X_4|}{\sigma\sqrt{2}}} \] 设 $Z = \frac{X_1 - X_2}{\sigma\sqrt{2}}$。那么 $Z \sim N(0, 1)$。 设 $W = \frac{(X_3 + X_4)^2}{2\sigma^2}$。那么 $W \sim \chi^2(1)$。 注意到 $|X_3 + X_4| = \sqrt{2\sigma^2 W}$。因此，表达式变为： \[ \frac{Z}{\sqrt{W}} \] 这是自由度为1的t分布的定义。因此，$\frac{X_1 - X_2}{|X_3 + X_4|}$服从t分布，自由度为1。 正确答案是$\boxed{B}$。