题目
(8)设lim_(xtoinfty)(sqrt[3](1-x^6)-ax^2-b)=0,则a=____,b=____.
(8)设$\lim_{x\to\infty}(\sqrt[3]{1-x^{6}}-ax^{2}-b)=0$,则a=____,b=____.
题目解答
答案
将原式重写为：
\[
\sqrt[3]{1 - x^6} - ax^2 - b = x^2 \left( \sqrt[3]{\frac{1}{x^6} - 1} - a \right) - b
\]
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x^6} \to 0$，$\sqrt[3]{\frac{1}{x^6} - 1} \to -1$。为使极限存在且为零，需 $a = -1$。代入得：
\[
\lim_{x \to \infty} \left[ x^2 \left( \sqrt[3]{\frac{1}{x^6} - 1} + 1 \right) - b \right]
\]
使用泰勒展开 $\sqrt[3]{\frac{1}{x^6} - 1} \approx -1 + \frac{1}{3x^6}$，则：
\[
x^2 \left( -1 + \frac{1}{3x^6} + 1 \right) = \frac{x^2}{3x^6} = \frac{1}{3x^4} \to 0
\]
故 $b = 0$。
**答案：** $\boxed{-1, 0}$
解析
考查要点：本题主要考查无穷大极限的计算，涉及多项式展开和泰勒近似的应用，需要学生掌握处理高阶无穷大项的消去方法。
解题核心思路：
- 主导项分析：当$x \to \infty$时，三次根号内的$1 - x^6$主要由$-x^6$决定，因此$\sqrt[3]{1 - x^6} \approx -x^2$。
- 消去高阶项：通过调整$a$的值，使得表达式中的$x^2$项相互抵消，确保极限存在。
- 泰勒展开：对剩余的小项进行泰勒展开，进一步确定$b$的值，使极限为0。
破题关键点：
- 提取$x^2$因子，将原式转化为关于$x^2$的表达式，便于分析主导项。
- 泰勒展开三次根号内的表达式，精确到足够高的阶数，确保极限计算准确。
将原式变形为：
$\sqrt[3]{1 - x^6} - a x^2 - b = x^2 \left( \sqrt[3]{\frac{1}{x^6} - 1} - a \right) - b$
步骤1：确定$a$的值
当$x \to \infty$时，$\frac{1}{x^6} \to 0$，因此$\sqrt[3]{\frac{1}{x^6} - 1} \to \sqrt[3]{-1} = -1$。
为使$x^2$项的系数为0，需满足：
$\sqrt[3]{\frac{1}{x^6} - 1} - a \to 0 \quad \Rightarrow \quad a = -1$
步骤2：确定$b$的值
将$a = -1$代入原式，展开泰勒近似：
$\sqrt[3]{\frac{1}{x^6} - 1} = -1 + \frac{1}{3x^6} + o\left(\frac{1}{x^6}\right)$
代入后原式变为：
$x^2 \left( -1 + \frac{1}{3x^6} + 1 \right) - b = \frac{x^2}{3x^6} - b = \frac{1}{3x^4} - b$
当$x \to \infty$时，$\frac{1}{3x^4} \to 0$，因此需满足：
$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{3x^4} - b \right) = -b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 0$