6.(判断题，10.0分) 【判断题】二重积分iintlimits_(n){}dsigma可以表示平面区域D的面积。A. 对B. 错

本题考查二重积分的几何意义。解题思路是根据二重积分的几何意义来判断该命题的正确性。

二重积分$\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma$的几何意义为：当$f(x,y)\geqslant0$时，$\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma$表示以曲面$z = f(x,y)$为顶，以区域$D$为底的曲顶柱体的体积；当$f(x,y)$在区域$D$上有正有负时，$\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma$表示$xOy$面上方的曲顶柱体体积减去$xOy$面下方的曲顶柱体体积。

对于二重积分$\iint\limits_{D}d\sigma$，此时被积函数$f(x,y)=1$，它表示的是以平面$z = 1$为顶，以区域$D$为底的平顶柱体的体积。

根据柱体体积公式$V=S\times h$（其中$S$为底面积，$h$为高），在这个平顶柱体中，高$h = 1$，底面积就是平面区域$D$的面积$S$，那么该平顶柱体的体积$V=\iint\limits_{D}d\sigma=S\times1 = S$，即二重积分$\iint\limits_{D}d\sigma$的值等于平面区域$D$的面积。所以“二重积分$\iint\limits_{D}d\sigma$可以表示平面区域$D$的面积”这一说法是正确的。