题目
某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为 (7)/(8)，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为 (1)/(2)。已知输入的问题表达不清晰的概率为 (1)/(5)。(1) 求智能客服的回答被采纳的概率；(2) 在某次测试中输入了 3 个问题（3 个问题相互独立），设 X 表示智能客服的回答被采纳的次数。求 X 的分布列、期望及方差。
某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为 $\frac{7}{8}$，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为 $\frac{1}{2}$。已知输入的问题表达不清晰的概率为 $\frac{1}{5}$。 (1) 求智能客服的回答被采纳的概率； (2) 在某次测试中输入了 3 个问题（3 个问题相互独立），设 $X$ 表示智能客服的回答被采纳的次数。求 $X$ 的分布列、期望及方差。
题目解答
答案
我们来逐步解决这个概率题目。
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### **题设回顾**
- 当输入的问题**表达清晰**时，智能客服的回答被采纳的概率为：
$$
P(A|\text{清晰}) = \frac{7}{8}
$$
- 当输入的问题**表达不清晰**时，智能客服的回答被采纳的概率为：
$$
P(A|\text{不清晰}) = \frac{1}{2}
$$
- 输入的问题表达**不清晰**的概率为：
$$
P(\text{不清晰}) = \frac{1}{5}
$$
所以，表达**清晰**的概率为：
$$
P(\text{清晰}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}
$$
---
## **(1) 求智能客服的回答被采纳的概率**
我们要求的是：
$$
P(A) = \text{智能客服的回答被采纳的概率}
$$
使用**全概率公式**：
$$
P(A) = P(A|\text{清晰}) \cdot P(\text{清晰}) + P(A|\text{不清晰}) \cdot P(\text{不清晰})
$$
代入数值：
$$
P(A) = \frac{7}{8} \cdot \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}
$$
分别计算：
- $\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{28}{40}$
- $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10} = \frac{4}{40}$
所以：
$$
P(A) = \frac{28}{40} + \frac{4}{40} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}
$$
---
### ✅ **第(1)问答案：**
$$
\boxed{P(A) = \frac{4}{5}}
$$
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## **(2) 输入了 3 个问题，设 $X$ 表示被采纳的次数**
每个问题是否被采纳是**独立事件**，且每个问题被采纳的概率是：
$$
p = \frac{4}{5}
$$
所以，随机变量 $X$ 服从**二项分布**：
$$
X \sim B(n=3, p=\frac{4}{5})
$$
---
### **分布列**
对于 $X \sim B(3, \frac{4}{5})$，其概率质量函数为：
$$
P(X = k) = \binom{3}{k} \left(\frac{4}{5}\right)^k \left(1 - \frac{4}{5}\right)^{3-k} = \binom{3}{k} \left(\frac{4}{5}\right)^k \left(\frac{1}{5}\right)^{3-k}
$$
我们分别计算 $k = 0, 1, 2, 3$：
---
#### $k = 0$：
$$
P(X = 0) = \binom{3}{0} \left(\frac{4}{5}\right)^0 \left(\frac{1}{5}\right)^3 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{125} = \frac{1}{125}
$$
#### $k = 1$：
$$
P(X = 1) = \binom{3}{1} \left(\frac{4}{5}\right)^1 \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 3 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{25} = \frac{12}{125}
$$
#### $k = 2$：
$$
P(X = 2) = \binom{3}{2} \left(\frac{4}{5}\right)^2 \left(\frac{1}{5}\right)^1 = 3 \cdot \frac{16}{25} \cdot \frac{1}{5} = \frac{48}{125}
$$
#### $k = 3$：
$$
P(X = 3) = \binom{3}{3} \left(\frac{4}{5}\right)^3 \left(\frac{1}{5}\right)^0 = 1 \cdot \frac{64}{125} \cdot 1 = \frac{64}{125}
$$
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### ✅ **第(2)问分布列：**
$$
\begin{aligned}
P(X = 0) &= \frac{1}{125} \\
P(X = 1) &= \frac{12}{125} \\
P(X = 2) &= \frac{48}{125} \\
P(X = 3) &= \frac{64}{125}
\end{aligned}
$$
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### **期望和方差**
对于二项分布 $X \sim B(n, p)$，有：
- 期望：
$$
E(X) = np = 3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{5}
$$
- 方差：
$$
D(X) = np(1-p) = 3 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{12}{25}
$$
---
### ✅ **第(2)问期望和方差：**
- 期望：$\boxed{\frac{12}{5}}$
- 方差：$\boxed{\frac{12}{25}}$
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## ✅ **最终答案总结**
### (1) 智能客服的回答被采纳的概率为：
$$
\boxed{\frac{4}{5}}
$$
### (2) 设 $X$ 表示被采纳的次数：
- **分布列**：
$$
\begin{aligned}
P(X = 0) &= \frac{1}{125} \\
P(X = 1) &= \frac{12}{125} \\
P(X = 2) &= \frac{48}{125} \\
P(X = 3) &= \frac{64}{125}
\end{aligned}
$$
- **期望**：$\boxed{\frac{12}{5}}$
- **方差**：$\boxed{\frac{12}{25}}$
解析
考查要点：
- 全概率公式的应用：根据问题表达清晰与否的两种情况，计算智能客服回答被采纳的总概率。
- 二项分布的理解与应用：多个独立事件中成功次数的分布、期望和方差的计算。
解题核心思路：
- 第（1）问：通过全概率公式，将两种表达状态下的被采纳概率加权求和。
- 第（2）问：明确每次测试被采纳的概率为第（1）问的结果，利用二项分布的性质直接求解分布列、期望和方差。
第（1）题
关键步骤：
- 确定两种表达状态的概率：
- 表达清晰的概率：$P(\text{清晰}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
- 表达不清晰的概率：$P(\text{不清晰}) = \frac{1}{5}$
- 应用全概率公式：
$P(A) = P(A|\text{清晰}) \cdot P(\text{清晰}) + P(A|\text{不清晰}) \cdot P(\text{不清晰})$ - 代入数值计算：
$P(A) = \frac{7}{8} \cdot \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{28}{40} + \frac{4}{40} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$
第（2）题
关键步骤：
- 确定二项分布参数：
- 每次测试被采纳的概率：$p = \frac{4}{5}$
- 独立测试次数：$n = 3$
- 随机变量$X \sim B(3, \frac{4}{5})$
- 分布列计算：
$P(X = k) = \binom{3}{k} \left(\frac{4}{5}\right)^k \left(\frac{1}{5}\right)^{3-k}$- $k = 0$：$\frac{1}{125}$
- $k = 1$：$\frac{12}{125}$
- $k = 2$：$\frac{48}{125}$
- $k = 3$：$\frac{64}{125}$
- 期望与方差：
$E(X) = np = 3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{5}, \quad D(X) = np(1-p) = 3 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{12}{25}$