题目
求函数u=x^2+y^2+z^2在约束条件z=x^2+y^2和x+y+z=4下的最大值与最小值。
求函数$$u=x^2+y^2+z^2$$在约束条件$$z=x^2+y^2$$和$$x+y+z=4$$下的最大值与最小值。
题目解答
答案
作拉格朗日函数$$F(x，y，z，λ，μ)$$$$=x^2+y^2+z^2+λ(x^2+y^2-z)$$$$+μ(x+y+z-4)$$
首先，求解其驻点：
$$F'_x＝2x+2λx+μ＝0$$
$$F'_y＝2y+2λy+μ＝0$$
令$$F'_z＝2z−λ+μ＝0$$
$$F'_λ＝x^2+y^2−z＝0$$
$$F'_μ＝x+y+z−4＝0$$
求解方程组可得$$(x_1，y_1，z_1)=(1，1，2)$$，$$(x_2，y_2，z_2)=(-2，-2，8)$$．因为 $$u(x_1，y_1，z_1)=6$$，$$u(x_2，y_2，z_2)=72$$，
故所求的最大值为72，最小值为6。
解析
步骤 1：构造拉格朗日函数
构造拉格朗日函数$$F(x，y，z，λ，μ)$$，其中$$λ$$和$$μ$$是拉格朗日乘子，用于处理约束条件。拉格朗日函数为：
$$F(x，y，z，λ，μ) = x^2 + y^2 + z^2 + λ(x^2 + y^2 - z) + μ(x + y + z - 4)$$
步骤 2：求解拉格朗日函数的偏导数
对拉格朗日函数$$F(x，y，z，λ，μ)$$分别对$$x$$，$$y$$，$$z$$，$$λ$$，$$μ$$求偏导数，并令其等于0，得到方程组：
$$F'_x＝2x+2λx+μ＝0$$
$$F'_y＝2y+2λy+μ＝0$$
$$F'_z＝2z−λ+μ＝0$$
$$F'_λ＝x^2+y^2−z＝0$$
$$F'_μ＝x+y+z−4＝0$$
步骤 3：求解方程组
求解上述方程组，得到两个解$$(x_1，y_1，z_1)=(1，1，2)$$和$$(x_2，y_2，z_2)=(-2，-2，8)$$。
步骤 4：计算函数值
将上述两个解代入原函数$$u=x^2+y^2+z^2$$，计算得到$$u(x_1，y_1，z_1)=6$$和$$u(x_2，y_2，z_2)=72$$。
步骤 5：确定最大值和最小值
比较两个函数值，确定最大值和最小值。
构造拉格朗日函数$$F(x，y，z，λ，μ)$$，其中$$λ$$和$$μ$$是拉格朗日乘子，用于处理约束条件。拉格朗日函数为：
$$F(x，y，z，λ，μ) = x^2 + y^2 + z^2 + λ(x^2 + y^2 - z) + μ(x + y + z - 4)$$
步骤 2：求解拉格朗日函数的偏导数
对拉格朗日函数$$F(x，y，z，λ，μ)$$分别对$$x$$，$$y$$，$$z$$，$$λ$$，$$μ$$求偏导数，并令其等于0，得到方程组：
$$F'_x＝2x+2λx+μ＝0$$
$$F'_y＝2y+2λy+μ＝0$$
$$F'_z＝2z−λ+μ＝0$$
$$F'_λ＝x^2+y^2−z＝0$$
$$F'_μ＝x+y+z−4＝0$$
步骤 3：求解方程组
求解上述方程组，得到两个解$$(x_1，y_1，z_1)=(1，1，2)$$和$$(x_2，y_2，z_2)=(-2，-2，8)$$。
步骤 4：计算函数值
将上述两个解代入原函数$$u=x^2+y^2+z^2$$，计算得到$$u(x_1，y_1，z_1)=6$$和$$u(x_2，y_2，z_2)=72$$。
步骤 5：确定最大值和最小值
比较两个函数值，确定最大值和最小值。