题目

设总体服从, 是的样本，则有( ).A 服从 N(2, 0.9)B 服从 N(2, 9)C 服从 N(20, 9)D 服从 N(20,90)

设总体 $X$ 服从 $N(2, 3^{2}), X_{1}, \:X_{2}$ , $\:\ldots, \:X_{10}$ 是 $X$ 的样本，则有( ).

A $\overline{X}$ 服从 N(2, 0.9)

B $\overline{X}$ 服从 N(2, 9)

C $\overline{X}$ 服从 N(20, 9)

D $\overline{X}$ 服从 N(20,90)

题目解答

答案

给定总体 $X$ 服从正态分布 $N(2,3^2)$ ,即均值为 2,方差为 $3^2=9$ 。样本 $X_1,X_2,\ldots,X_{10}$ 是从这个总体中抽取的。根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 的分布也服从正态分布，其均值为总体均值，方差为总体方差除以样本大小。

因此，样本均值 $\overline{X}$ 的分布为：

$\bar{X}\sim N\begin{pmatrix}2,\frac{9}{10}\end{pmatrix}$

所以，样本均值 $\overline{X}$ 服从 $N(2,0.9)$ 。

根据选项，正确答案是：

A $\overline{X}$ 服从 $N(2,0.9)$ 。

解析

步骤 1：确定总体分布
给定总体服从正态分布N(2,3^2)，即均值为2，方差为${3}^{2}=9$。

步骤 2：应用中心极限定理
根据中心极限定理，样本均值的分布也服从正态分布，其均值为总体均值，方差为总体方差除以样本大小。样本大小为10。

步骤 3：计算样本均值的分布
样本均值的分布为：
$\overline {X}\sim N(2,\dfrac {9}{10})$
即样本均值服从N(2,0.9)。