已知四阶行列式D的第三列的元素依次为 -1, 2, 0, 1, 它们的余子式依次为 5, -3, -7, -4, 则 D = ( );A. 5.B. -5.C. 15.D. -15.

考查要点：本题主要考查行列式按列展开的性质，特别是代数余子式的应用。

解题核心思路：利用行列式按某一列展开的公式，将第三列的元素与其对应的代数余子式相乘后求和，从而求出行列式的值。

破题关键点：

1. 明确代数余子式的定义：代数余子式 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 是余子式。
2. 符号处理：第三列的列号为3，因此每个元素的代数余子式符号由 $(-1)^{i+3}$ 决定。
3. 代入计算：将元素与对应的代数余子式相乘后求和，注意第三列中存在0元素可简化计算。

行列式 $D$ 按第三列展开，公式为：
$D = \sum_{i=1}^4 a_{i3} \cdot A_{i3}$
其中 $a_{i3}$ 是第三列的元素，$A_{i3}$ 是对应的代数余子式。

步骤分解：

1. 计算代数余子式：

   • 第1行第3列：$A_{13} = (-1)^{1+3} \cdot 5 = 5$
   • 第2行第3列：$A_{23} = (-1)^{2+3} \cdot (-3) = 3$
   • 第3行第3列：$A_{33} = (-1)^{3+3} \cdot (-7) = -7$
   • 第4行第3列：$A_{43} = (-1)^{4+3} \cdot (-4) = 4$

2. 代入元素与代数余子式相乘：
   $D = (-1) \cdot 5 + 2 \cdot 3 + 0 \cdot (-7) + 1 \cdot 4 = -5 + 6 + 0 + 4 = 5$