题目
[1.25]现有一大批种子,其中良种占 dfrac (1)(6), 现从中任取6000粒.试分别(1)用切比雪夫不等-|||-式估计;(2)用中心极限定理计算:这6000粒中良种所占的比例与 dfrac (1)(6) 之差的绝对值不超过0.01-|||-的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义随机变量
设6000粒中的良种数量为X，则 $X\sim B(6000,\dfrac {1}{6})$，即X服从参数为n=6000和p=$\dfrac {1}{6}$的二项分布。
步骤 2：计算期望和方差
对于二项分布 $B(n,p)$，其期望 $E(X)=np$ 和方差 $D(X)=np(1-p)$。因此，$E(X)=6000\times \dfrac {1}{6}=1000$，$D(X)=6000\times \dfrac {1}{6}\times \dfrac {5}{6}=\dfrac {5000}{6}$。
步骤 3：切比雪夫不等式估计
要估计的概率为 $P\{ |\dfrac {x}{6000}-\dfrac {1}{6}|\lt \dfrac {1}{100}\} =P\{ |x-1000|\lt 60\} $。根据切比雪夫不等式，$P\{ |X-E(X)|\geqslant e\}\leqslant \dfrac {D(X)}{e^2}$，取 $e=60$，则 $P\{ |x-1000|\lt 60\} \geqslant 1-\dfrac {D(X)}{60^2}$。
步骤 4：中心极限定理计算
由拉普拉斯中心极限定理，二项分布 $B(6000,\dfrac {1}{6})$ 可用正态分布 $N(1000,\dfrac {5000}{6})$ 近似，所求概率为 $P\{ |\dfrac {x}{6000}-\dfrac {1}{6}|\lt \dfrac {1}{100}\} =P\{ |x-1000|\lt 60\} $，即 $P\{ -60\lt x-1000\lt 60\} $，转换为标准正态分布计算。
设6000粒中的良种数量为X，则 $X\sim B(6000,\dfrac {1}{6})$，即X服从参数为n=6000和p=$\dfrac {1}{6}$的二项分布。
步骤 2：计算期望和方差
对于二项分布 $B(n,p)$，其期望 $E(X)=np$ 和方差 $D(X)=np(1-p)$。因此，$E(X)=6000\times \dfrac {1}{6}=1000$，$D(X)=6000\times \dfrac {1}{6}\times \dfrac {5}{6}=\dfrac {5000}{6}$。
步骤 3：切比雪夫不等式估计
要估计的概率为 $P\{ |\dfrac {x}{6000}-\dfrac {1}{6}|\lt \dfrac {1}{100}\} =P\{ |x-1000|\lt 60\} $。根据切比雪夫不等式，$P\{ |X-E(X)|\geqslant e\}\leqslant \dfrac {D(X)}{e^2}$，取 $e=60$，则 $P\{ |x-1000|\lt 60\} \geqslant 1-\dfrac {D(X)}{60^2}$。
步骤 4：中心极限定理计算
由拉普拉斯中心极限定理，二项分布 $B(6000,\dfrac {1}{6})$ 可用正态分布 $N(1000,\dfrac {5000}{6})$ 近似，所求概率为 $P\{ |\dfrac {x}{6000}-\dfrac {1}{6}|\lt \dfrac {1}{100}\} =P\{ |x-1000|\lt 60\} $，即 $P\{ -60\lt x-1000\lt 60\} $，转换为标准正态分布计算。