题目
567 假设总体X服从参数为λ的治松分布X1,···,Xn是取自总体X的简单随机样本,其-|||-均值为X,方差为S^2.已知 lambda =aoverline (x)+(2-3a)(S)^2 为λ的无偏估计,则a等于-|||-(A) -1. (B)0. (C) dfrac (1)(2) (D)1.A、AB、BC、CD、D
- A、A
- B、B
- C、C
- D、D
题目解答
答案
C
解析
步骤 1：理解泊松分布的性质
泊松分布的均值和方差都是λ。因此，对于样本均值$\overline{X}$和样本方差$S^2$，我们有$E(\overline{X}) = λ$和$E(S^2) = λ$。
步骤 2：无偏估计的定义
无偏估计意味着估计量的期望值等于真实参数值。因此，对于$\hat{\lambda} = a\overline{X} + (2-3a)S^2$，我们有$E(\hat{\lambda}) = λ$。
步骤 3：计算期望值
根据无偏估计的定义，我们有$E(\hat{\lambda}) = E(a\overline{X} + (2-3a)S^2) = aE(\overline{X}) + (2-3a)E(S^2) = aλ + (2-3a)λ = λ$。因此，$aλ + (2-3a)λ = λ$，即$(a + 2 - 3a)λ = λ$，从而得到$2 - 2a = 1$，解得$a = \dfrac{1}{2}$。
泊松分布的均值和方差都是λ。因此，对于样本均值$\overline{X}$和样本方差$S^2$，我们有$E(\overline{X}) = λ$和$E(S^2) = λ$。
步骤 2：无偏估计的定义
无偏估计意味着估计量的期望值等于真实参数值。因此，对于$\hat{\lambda} = a\overline{X} + (2-3a)S^2$，我们有$E(\hat{\lambda}) = λ$。
步骤 3：计算期望值
根据无偏估计的定义，我们有$E(\hat{\lambda}) = E(a\overline{X} + (2-3a)S^2) = aE(\overline{X}) + (2-3a)E(S^2) = aλ + (2-3a)λ = λ$。因此，$aλ + (2-3a)λ = λ$，即$(a + 2 - 3a)λ = λ$，从而得到$2 - 2a = 1$，解得$a = \dfrac{1}{2}$。