(17) (本题满分10分)设a>0，x_(1)>0，x_(n+1)=(1)/(3)(2x_(n)+(a)/(x_(n)^2)),n=1,2,….证明数列(x_{n)}收敛，并求其极限.

本题主要考查数列收敛性的证明以及极限的求解。解题思路是先通过假设数列收敛求出极限的可能值，再利用函数的性质证明数列的有界性和单调性，进而证明数列收敛，最后得出极限值。

1. 猜测极限：
   假设数列$\{x_n\}$收敛，设其极限为$L$。因为$\lim\limits_{n \to \infty} x_{n + 1} = \lim\limits_{n \to \infty} x_n = L$，那么对递推式$x_{n + 1} = \frac{1}{3}(2x_n + \frac{a}{x_n^2})$两边同时取极限$n \to \infty$，可得：
   $L = \frac{1}{3}(2L + \frac{a}{L^2})$
   等式两边同时乘以$3L^2$去分母得：
   $3L^3 = 2L^3 + a$
   移项可得：
   $3L^3 - 2L^3 = a$
   即$L^3 = a$
   因为$a>0$，所以解得$L = \sqrt[3]{a}$。
2. 证明收敛：
   • 定义函数并求导：
     定义函数$f(x) = \frac{1}{3}(2x + \frac{a}{x^2})$，$x>0$。
     根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$对$f(x)$求导：
     $f^\prime(x) = \frac{1}{3}(2 - \frac{2a}{x^3}) = \frac{2}{3} - \frac{2a}{3x^3}$
   • 求函数的极值点：
     令$f^\prime(x) = 0$，即$\frac{2}{3} - \frac{2a}{3x^3} = 0$，等式两边同时乘以$3x^3$得：
     $2x^3 - 2a = 0$
     移项可得$2x^3 = 2a$，即$x^3 = a$，解得$x = \sqrt[3]{a}$。
     再对$f^\prime(x)$求导判断$x = \sqrt[3]{a}$是极大值点还是极小值点，$f^{\prime\prime}(x)=\frac{2a}{x^4}$，当$x = \sqrt[3]{a}$时，$f^{\prime\prime}(\sqrt[3]{a})=\frac{2a}{(\sqrt[3]{a})^4}>0$，所以$f(x)$在$x = \sqrt[3]{a}$处取得最小值。
     将$x = \sqrt[3]{a}$代入$f(x)$可得：
     $f(\sqrt[3]{a}) = \frac{1}{3}(2\sqrt[3]{a} + \frac{a}{(\sqrt[3]{a})^2}) = \frac{1}{3}(2\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a}) = \sqrt[3]{a}$
   • 证明数列的有界性：
     已知$x_1>0$，由$f(x) \geq \sqrt[3]{a}$，可得$x_{n + 1} = f(x_n) \geq \sqrt[3]{a}>0$，所以数列$\{x_n\}$有下界$\sqrt[3]{a}$。
   • 证明数列的单调性：
     对$f^\prime(x) = \frac{2}{3} - \frac{2a}{3x^3}$进行分析，当$x \geq \sqrt[3]{a}$时，$x^3 \geq a$，则$\frac{2a}{3x^3} \leq \frac{2}{3}$，所以$f^\prime(x) \leq 0$，即$f(x)$在$[\sqrt[3]{a}, +\infty)$上单调递减。
     若$x_1 \geq \sqrt[3]{a}$，则$x_{n + 1} = f(x_n) \leq f(x_{n - 1}) = x_n$，所以数列$\{x_n\}$单调递减。
     若$x_1 < \sqrt[3]{a}$，则$x_2 = f(x_1) \geq \sqrt[3]{a}$，那么从第二项起数列单调递减。
   • 得出收敛结论：
     根据单调有界准则，单调递减且有下界的数列收敛，所以数列$\{x_n\}$收敛，且收敛于其下界$\sqrt[3]{a}$。