2 单选(2分)设X 1,···,Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本,则λ的极大似-|||-然估计量为 ()-|||-A. -dfrac (1)(x)-|||-B. dfrac (1)(x)-|||-C. -x-|||-D.X

步骤 1：理解极大似然估计量的定义
极大似然估计量是通过最大化似然函数来估计参数的值。对于泊松分布，似然函数是基于样本数据的联合概率函数。

步骤 2：写出泊松分布的似然函数
泊松分布的概率质量函数为 $P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$，其中 $x$ 是非负整数，$\lambda$ 是泊松分布的参数。对于样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$，似然函数为：
$$
L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda^{X_i} e^{-\lambda}}{X_i!}
$$

步骤 3：对似然函数取对数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$$
\ln L(\lambda) = \sum_{i=1}^{n} \ln \left( \frac{\lambda^{X_i} e^{-\lambda}}{X_i!} \right) = \sum_{i=1}^{n} \left( X_i \ln \lambda - \lambda - \ln X_i! \right)
$$
$$
= \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \ln \lambda - n\lambda - \sum_{i=1}^{n} \ln X_i!
$$

步骤 4：求对数似然函数的导数
为了找到极大似然估计量，我们需要对对数似然函数关于 $\lambda$ 求导，并令导数等于零：
$$
\frac{d}{d\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{\lambda} - n = 0
$$
$$
\sum_{i=1}^{n} X_i = n\lambda
$$
$$
\lambda = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n} = \overline{X}
$$
其中 $\overline{X}$ 是样本均值。

步骤 5：验证极大似然估计量
我们已经得到 $\lambda$ 的极大似然估计量为 $\overline{X}$，即样本均值。这符合极大似然估计量的定义，因为样本均值是泊松分布参数 $\lambda$ 的无偏估计量。