题目
10.设某机器生产的零件长度（单位：cm）Xsim N(mu,sigma^2)，今抽取容量为16的样本，测得样本均值overline(x)=10，样本方差s^2=0.16，则mu的置信度为0.95的置信区间为____.
10.设某机器生产的零件长度（单位：cm）$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，今抽取容量为16的样本，测得样本均值$\overline{x}=10$，样本方差$s^{2}=0.16$，则$\mu$的置信度为0.95的置信区间为____.
题目解答
答案
已知样本均值 $\overline{x} = 10$，样本方差 $s^2 = 0.16$，样本容量 $n = 16$，置信水平为 0.95。
由于总体方差未知，使用 t 分布。自由度 $n-1 = 15$，查表得 $t_{0.025}(15) = 2.1315$。
标准误 $\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.4}{4} = 0.1$。
置信区间为：
\[
\left( \overline{x} - t_{0.025}(15) \cdot 0.1, \overline{x} + t_{0.025}(15) \cdot 0.1 \right) = (10 - 2.1315 \cdot 0.1, 10 + 2.1315 \cdot 0.1) = (9.78685, 10.21315)
\]
**答案：** $\boxed{(9.78685, 10.21315)}$
解析
考查要点：本题主要考查正态总体均值的置信区间估计，重点在于理解在总体方差未知时如何利用样本数据构造置信区间。
解题核心思路：
- 判断使用分布：由于总体方差未知且样本容量较小（n=16），应使用t分布而非z分布。
- 确定关键参数：计算自由度、查t临界值、求标准误。
- 代入公式计算区间：利用样本均值、t临界值和标准误，代入置信区间公式。
破题关键点：
- 识别总体方差未知，选择t分布。
- 正确计算自由度（n-1）和标准误（s/√n）。
- 准确查t表获取临界值。
步骤1：确定适用分布与参数
- 总体方差未知，样本容量n=16（小样本），故使用t分布。
- 自由度：$df = n - 1 = 16 - 1 = 15$。
- 置信度：0.95对应双侧检验的$\alpha/2 = 0.025$，查t表得$t_{0.025}(15) = 2.1315$。
步骤2：计算标准误
- 样本方差$s^2 = 0.16$，故样本标准差$s = \sqrt{0.16} = 0.4$。
- 标准误：$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.4}{\sqrt{16}} = \frac{0.4}{4} = 0.1$。
步骤3：构造置信区间
- 置信区间公式：
$\overline{x} \pm t_{\alpha/2}(df) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$ - 代入数据：
$10 \pm 2.1315 \cdot 0.1$ - 计算上下限：
- 下限：$10 - 2.1315 \cdot 0.1 = 9.78685$
- 上限：$10 + 2.1315 \cdot 0.1 = 10.21315$