6-16 如图所示,同轴电缆由半径为R1的导线和半径为R3的导体圆筒构成,在内、外导体间用两层-|||-电介质隔离,分界面的半径为R2,其介电常量分别为ε1和ε2.若使两层电介质中的最大电场强度相等,其-|||-条件如何?并求此种情况下电缆单位长度的电容.-|||-R-|||-R1 ε-|||-R3 ε?

考查要点：本题主要考查同轴电缆中电介质分层时的最大电场强度条件及单位长度电容的计算，涉及高斯定理、电势差积分及电容定义的应用。

解题核心思路：

1. 确定最大电场位置：在同轴电缆中，电场强度随半径增大而减小，因此每层电介质的最大电场出现在离轴线最近的内表面。
2. 建立最大电场相等条件：通过比较两层电介质中最大电场的表达式，得到介电常数与半径的关系。
3. 计算单位长度电容：利用电势差积分公式，结合电容定义 $C = \frac{\lambda}{\Delta V}$，综合两层电介质的贡献。

破题关键点：

• 电场分布规律：由高斯定理得出各层电场表达式，注意介电常数的影响。
• 电势差计算：分段积分求电势差，注意积分上下限对应各层电介质的半径范围。

条件推导

设内导体单位长度带电量为 $\lambda$，则：

• 第一层电介质（$R_1 \leq r \leq R_2$）：电场强度为
  $E_1 = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_1 r}$
  最大值出现在 $r = R_1$，即
  $E_{1\text{max}} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_1 R_1}.$

• 第二层电介质（$R_2 \leq r \leq R_3$）：电场强度为
  $E_2 = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_2 r}$
  最大值出现在 $r = R_2$，即
  $E_{2\text{max}} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_2 R_2}.$

最大电场相等条件：
$\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_1 R_1} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_2 R_2} \implies \frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1} = \frac{R_1}{R_2}.$

单位长度电容计算

内、外导体间的电势差为两层电介质中电势差之和：
$\begin{aligned}V &= \int_{R_1}^{R_2} \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_1 r} \, dr + \int_{R_2}^{R_3} \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_2 r} \, dr \\&= \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_1} \ln \frac{R_2}{R_1} + \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_2} \ln \frac{R_3}{R_2}.\end{aligned}$

单位长度电容为：
$C = \frac{\lambda}{V} = \frac{2\pi}{\frac{1}{\varepsilon_1} \ln \frac{R_2}{R_1} + \frac{1}{\varepsilon_2} \ln \frac{R_3}{R_2}}.$