3.设总体 sim N(0,(sigma )^2) ,X1,X2,···,Xn为总体X的简单随机样本,X与S^2分别为样本均-|||-值与样本方差,则 () .-|||-(A) dfrac (n{X)^2}({S)^2}sim F(1,n-1) (B) dfrac ((n+1){X)^2}({S)^2}sim F(1,n-1)-|||-(C) dfrac ({x)^2}({S)^2}sim F(1,n-1) (D) dfrac ((n-1){X)^2}({S)^2}sim F(1,n-1)

考查要点：本题主要考查F分布的构造条件，涉及样本均值的分布、样本方差的分布以及两者之间的独立性关系。

解题核心思路：

1. 标准化样本均值：利用正态总体性质，将样本均值标准化为标准正态变量，进而构造卡方分布。
2. 样本方差的卡方分布：根据样本方差的定义，推导其与卡方分布的关系。
3. 独立性：明确样本均值与样本方差相互独立。
4. F分布的构造：将两个独立的卡方变量分别标准化后取比值，判断选项中符合该结构的形式。

破题关键点：

• 样本均值的平方标准化后服从$\chi^2(1)$。
• 样本方差标准化后服从$\chi^2(n-1)$。
• 分子自由度为1，分母自由度为$n-1$，最终比值服从$F(1,n-1)$。

步骤1：标准化样本均值
由$X \sim N(0, \sigma^2)$，样本均值$\overline{X} \sim N\left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$，标准化得：
$\frac{\overline{X}}{\sigma} \sim N(0,1)$
平方后服从$\chi^2(1)$：
$\frac{n\overline{X}^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$

步骤2：样本方差的卡方分布
根据样本方差定义：
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$

步骤3：独立性
样本均值$\overline{X}$与样本方差$S^2$相互独立。

步骤4：构造F分布
将两个卡方变量分别标准化后取比值：
$F = \frac{\frac{n\overline{X}^2/\sigma^2}{1}}{\frac{(n-1)S^2/\sigma^2}{n-1}} = \frac{n\overline{X}^2}{S^2} \sim F(1, n-1)$
因此，选项(A)正确。