题目
((x)_(1),(x)_(2),(x)_(3))=-2(x)_(1)(x)_(2)-2(x)_(1)(x)_(3)+6(x)_(2)(x)_(3)的正惯性指数为.(A)3 (B)2 (C)1 (D)0
的正惯性指数为.
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0
题目解答
答案
二次型
的矩阵为
，用矩阵的成对初等行、列变换法将二次型化为标准型，则
解得A的特征值为
，其中正的特征值有1个，所以该二次型的正惯性指数为1。
所以本题答案为C
解析
步骤 1：确定二次型的矩阵
二次型$f(x_1, x_2, x_3) = -2x_1x_2 - 2x_1x_3 + 6x_2x_3$的矩阵形式为$A$，其中$A$是一个对称矩阵，其元素由二次型的系数确定。根据二次型的系数，可以得到矩阵$A$如下：
$$
A = \begin{pmatrix}
0 & -1 & -1 \\
-1 & 0 & 3 \\
-1 & 3 & 0
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算矩阵$A$的特征值
为了计算正惯性指数，我们需要找到矩阵$A$的特征值。特征值是通过求解特征方程$|\lambda I - A| = 0$得到的，其中$I$是单位矩阵。计算特征方程：
$$
|\lambda I - A| = \begin{vmatrix}
\lambda & 1 & 1 \\
1 & \lambda & -3 \\
1 & -3 & \lambda
\end{vmatrix} = 0
$$
展开行列式，得到特征多项式：
$$
\lambda^3 - 10\lambda - 8 = 0
$$
解这个三次方程，得到特征值$\lambda_1 = -3$，$\lambda_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$，$\lambda_3 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$。
步骤 3：确定正惯性指数
正惯性指数是指矩阵$A$的正特征值的个数。从步骤2中得到的特征值中，只有$\lambda_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$是正的，因此正惯性指数为1。
二次型$f(x_1, x_2, x_3) = -2x_1x_2 - 2x_1x_3 + 6x_2x_3$的矩阵形式为$A$，其中$A$是一个对称矩阵，其元素由二次型的系数确定。根据二次型的系数，可以得到矩阵$A$如下：
$$
A = \begin{pmatrix}
0 & -1 & -1 \\
-1 & 0 & 3 \\
-1 & 3 & 0
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算矩阵$A$的特征值
为了计算正惯性指数，我们需要找到矩阵$A$的特征值。特征值是通过求解特征方程$|\lambda I - A| = 0$得到的，其中$I$是单位矩阵。计算特征方程：
$$
|\lambda I - A| = \begin{vmatrix}
\lambda & 1 & 1 \\
1 & \lambda & -3 \\
1 & -3 & \lambda
\end{vmatrix} = 0
$$
展开行列式，得到特征多项式：
$$
\lambda^3 - 10\lambda - 8 = 0
$$
解这个三次方程，得到特征值$\lambda_1 = -3$，$\lambda_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$，$\lambda_3 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$。
步骤 3：确定正惯性指数
正惯性指数是指矩阵$A$的正特征值的个数。从步骤2中得到的特征值中，只有$\lambda_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$是正的，因此正惯性指数为1。