6 设xi为函数f(x)=arcsin x在区间[0,b]上使用拉格朗日中值定理中的“中值”，则极限lim_(bto0)(xi)/(b)=A. (1)/(sqrt(6)).B. (1)/(2).C. (1)/(sqrt(3)).D. (1)/(sqrt(2)).

考查要点：本题主要考查拉格朗日中值定理的应用及极限的计算，涉及反三角函数的导数、泰勒展开的运用。

解题核心思路：

1. 应用拉格朗日中值定理，建立关于$\xi$的方程；
2. 泰勒展开近似处理$\arcsin b$，得到更高精度的表达式；
3. 代数变形求解$\xi$与$b$的关系，最终计算极限。

破题关键点：

• 导数计算：明确$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$；
• 泰勒展开：将$\arcsin b$展开到$b^3$项，精确表达$\frac{\arcsin b}{b}$；
• 近似处理：通过方程变形，将$\xi$表示为$b$的函数，提取主部求极限。

根据拉格朗日中值定理，存在$\xi \in (0, b)$，使得：
$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(0)}{b - 0} = \frac{\arcsin b}{b}.$
由于$f(x) = \arcsin x$，其导数为：
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.$
代入得方程：
$\frac{1}{\sqrt{1 - \xi^2}} = \frac{\arcsin b}{b}.$

泰勒展开：当$b \to 0$时，$\arcsin b$展开为：
$\arcsin b = b + \frac{b^3}{6} + O(b^5).$
因此：
$\frac{\arcsin b}{b} = 1 + \frac{b^2}{6} + O(b^4).$

代入方程：
$\frac{1}{\sqrt{1 - \xi^2}} = 1 + \frac{b^2}{6} + O(b^4).$

近似处理：对左边展开并保留主部：
$\frac{1}{\sqrt{1 - \xi^2}} \approx 1 + \frac{\xi^2}{2}.$
等式两边比较得：
$1 + \frac{\xi^2}{2} = 1 + \frac{b^2}{6} \implies \xi^2 \approx \frac{b^2}{3}.$
因此：
$\xi \approx \frac{b}{\sqrt{3}}.$

求极限：
$\lim_{b \to 0} \frac{\xi}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$