6.设袋中有编号为 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_8ed7f7b2cd7bbba088de67997de12159.jpgbacksim N 的N张卡片,其中N未知,现从中有放回地任-|||-取n张,所得号码为X1,X2,···,Xn-|||-(1)求N的矩估计量NM,并计算概率 {W)_(W)=1} ;-|||-(2)现取一容量为6的样本,得样本观测值1,3,2,3,2,4,求N的最大似-|||-然估计值NL.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查矩估计法和最大似然估计法的应用，涉及离散均匀分布的性质及概率计算。
解题思路：
- 矩估计：利用样本均值与总体均值的相等性建立方程，解出参数$N$的估计量。
- 概率计算：根据矩估计的表达式，分析特定条件下所有样本取值的约束关系，结合独立事件概率公式计算。
- 最大似然估计：通过似然函数的单调性确定参数的最优取值，需注意参数的取值下限由样本最大值决定。
破题关键：
- 矩估计的核心：总体均值公式为$\frac{N+1}{2}$，与样本均值联立方程。
- 概率计算的关键：当矩估计值为1时，所有样本必须均为1。
- 最大似然估计的本质：在满足样本合理性的前提下，使似然函数取最大值。
第（1）题
求$N$的矩估计量$\hat{N}_M$
-
总体均值计算
总体$X$服从离散均匀分布，均值为：
$E(X) = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} k = \frac{N+1}{2}$ -
矩估计方程
样本均值$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$，令$\overline{X} = E(X)$，得：
$\overline{X} = \frac{N+1}{2} \implies \hat{N}_M = 2\overline{X} - 1$
计算$P\{\hat{N}_M = 1\}$
-
条件分析
$\hat{N}_M = 1$当且仅当$2\overline{X} - 1 = 1$，即$\overline{X} = 1$。此时所有样本$X_1, X_2, \dots, X_n$必须均为1。 -
概率计算
每个样本取1的概率为$\frac{1}{N}$，独立事件下：
$P\{\hat{N}_M = 1\} = \left( \frac{1}{N} \right)^n$
第（2）题
求$N$的最大似然估计值$\hat{N}$
-
似然函数
样本观测值为$1, 3, 2, 3, 2, 4$，似然函数为：
$L(N) = \prod_{i=1}^{6} \frac{1}{N} = \frac{1}{N^6}$ -
单调性分析
$L(N)$随$N$增大而单调递减，因此$N$应尽可能小。但$N$必须至少等于样本最大值4，故：
$\hat{N} = \max\{1, 3, 2, 3, 2, 4\} = 4$