8.求齐次线性方程组-|||- ) 2(x)_(1)+(x)_(2)-(x)_(3)+(x)_(4)-3(x)_(5)=0 (x)_(1)+(x)_(2)-(x)_(3)+(x)_(5)=0 .-|||-的解空间(作为R ^5的子空间)的一组标准正交基.

步骤 1：求解齐次线性方程组
首先，我们需要求解给定的齐次线性方程组 $\left \{ \begin{matrix} 2{x}_{1}+{x}_{2}-{x}_{3}+{x}_{4}-3{x}_{5}=0\\ {x}_{1}+{x}_{2}-{x}_{3}+{x}_{5}=0\end{matrix} \right.$。通过高斯消元法，我们可以得到同解方程组 $\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}=-{x}_{4}+4{x}_{5}\\ {x}_{2}={x}_{3}+{x}_{4}-5{x}_{5}\end{matrix} \right.$。

步骤 2：确定基础解系
根据同解方程组，我们可以确定基础解系为 ${a}_{1}=(0,1,1,0,0)$, ${a}_{2}=(-1,1,0,1,0)$, ${a}_{3}=(4,-5,0,0,1)$。

步骤 3：正交化
接下来，我们需要将基础解系进行正交化。使用施密特正交化方法，我们得到：
${a}_{1}={a}_{1}=(0,1,1,0,0)$
${a}_{2}={a}_{2}-\dfrac {({a}_{2},{a}_{1})}{({a}_{1},{a}_{1})}{a}_{1}=(-1,1,0,1,0)-\dfrac {1}{2}(0,1,1,0,0)=(-1,\dfrac {1}{2},-\dfrac {1}{2},1,0)$
${a}_{3}={a}_{3}-\dfrac {({a}_{3},{a}_{1})}{({a}_{1},{a}_{1})}{a}_{1}-\dfrac {({a}_{3},{a}_{2})}{({a}_{2},{a}_{2})}{a}_{2}=(4,-5,0,0,1)-\dfrac {7}{2}(0,1,1,0,0)-\dfrac {1}{5}(-1,\dfrac {1}{2},-\dfrac {1}{2},1,0)=(7,-6,6,13,5)$

步骤 4：单位化
最后，我们需要将正交化后的向量单位化，得到标准正交基：
${m}_{1}=\dfrac {1}{\sqrt {2}}(0,1,1,0,0)$
${m}_{2}=\dfrac {1}{\sqrt {10}}(-2,1,-1,2,0)$
${m}_{3}=\dfrac {1}{3\sqrt {35}}(7,-6,6,13,5)$