2.下列极限中存在的是（）A. lim_(xtoinfty)(sqrt(x^2)+1)/(x)B. lim_(xto0)(1)/(1+e^1/x)C. lim_(xtoinfty)xsin(1)/(x)D. lim_(xto0)(1)/(2^x)-1

考查要点：本题主要考查极限的存在性判断，涉及无穷极限、左右极限的比较以及函数在无穷远处的行为分析。

解题核心思路：

1. 无穷远处的极限：当变量趋向于无穷大时，需判断不同方向（正无穷、负无穷）的极限是否一致。
2. 分段函数的左右极限：当变量趋向于某一点时，需分别计算左右极限，判断是否相等。
3. 小角近似法：当角度趋近于0时，$\sin\theta \approx \theta$，可简化计算。

破题关键点：

• 选项A：分子分母同阶无穷大，但需注意$x$的正负对结果的影响。
• 选项B：左右极限因$e^{1/x}$的指数特性导致结果不同。
• 选项C：利用小角近似将复杂表达式化简为常数。
• 选项D：分母趋向于0，但左右极限趋向于正负无穷，极限不存在。

选项A：$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$

化简表达式

当$x \to +\infty$时，$\sqrt{x^2 + 1} \approx |x| = x$，故极限为：
$\lim_{x\to+\infty} \frac{x}{x} = 1$
当$x \to -\infty$时，$\sqrt{x^2 + 1} \approx |x| = -x$，故极限为：
$\lim_{x\to-\infty} \frac{-x}{x} = -1$
结论：左右极限不相等，极限不存在。

选项B：$\lim_{x\to0}\frac{1}{1+e^{1/x}}$

计算左右极限

• 右极限（$x \to 0^+$）：$1/x \to +\infty$，$e^{1/x} \to +\infty$，分母趋向于$+\infty$，故极限为：
  $\lim_{x\to0^+} \frac{1}{1+e^{1/x}} = 0$
• 左极限（$x \to 0^-$）：$1/x \to -\infty$，$e^{1/x} \to 0$，分母趋向于$1$，故极限为：
  $\lim_{x\to0^-} \frac{1}{1+e^{1/x}} = 1$
  结论：左右极限不相等，极限不存在。

选项C：$\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}$

小角近似

当$x \to \infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，利用$\sin\theta \approx \theta$，得：
$x \sin\frac{1}{x} \approx x \cdot \frac{1}{x} = 1$
结论：极限为$1$，存在。

选项D：$\lim_{x\to0}\frac{1}{2^{x}-1}$

计算左右极限

• 右极限（$x \to 0^+$）：$2^x > 1$，分母趋向于$0^+$，故极限为$+\infty$。
• 左极限（$x \to 0^-$）：$2^x < 1$，分母趋向于$0^-$，故极限为$-\infty$。
  结论：左右极限趋向于无穷大，极限不存在。