设工厂A与工厂B的次品率分别为2%和1%,现从由A和B生产的产品分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,求该次品是A生产的概率。
设工厂A与工厂B的次品率分别为2%和1%,现从由A和B生产的产品分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,求该次品是A生产的概率。
题目解答
答案
要计算该次品是由工厂A生产的概率，可以使用条件概率公式。设事件：
A：产品由工厂A生产
B：产品由工厂B生产
C：抽取的产品是次品
我们要求的是在抽取的产品是次品的条件下，产品由工厂A生产的概率，即P(A|C)。
首先，我们可以使用全概率定理计算抽取的产品是次品的概率P(C)：
P(C) = P(C|A) * P(A) + P(C|B) * P(B)
其中，
P(C|A) 是在产品由工厂A生产的条件下，产品是次品的概率，即2%。
P(C|B) 是在产品由工厂B生产的条件下，产品是次品的概率，即1%。
P(A) 是产品由工厂A生产的概率，即30%。
P(B) 是产品由工厂B生产的概率，即70%。
将这些值代入上述公式：
P(C) = (2/100) * (30/100) + (1/100) * (70/100)
现在我们知道了抽取的产品是次品的概率P(C)，接下来可以使用条件概率公式计算该次品是由工厂A生产的概率P(A|C)：
P(A|C) = (P(C|A) * P(A)) / P(C)
将已知的值代入公式：
P(A|C) = ((2/100) * (30/100)) / [(2/100) * (30/100) + (1/100) * (70/100)]
现在，计算这个表达式的值：
P(A|C) = (0.006) / (0.006 + 0.007) ≈ 0.462
所以，该次品是由工厂A生产的概率约为46.2%。
解析
考查要点：本题主要考查条件概率和贝叶斯定理的应用，需要结合全概率公式计算后验概率。
解题核心思路：
- 明确事件定义：设事件A为产品来自工厂A，事件B为产品来自工厂B，事件C为抽到次品。
- 全概率公式计算总次品率$P(C)$，即$P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)$。
- 贝叶斯定理计算后验概率$P(A|C) = \frac{P(C|A)P(A)}{P(C)}$。
破题关键点：
- 正确区分先验概率（如$P(A)=30\%$）和条件概率（如$P(C|A)=2\%$）。
- 注意单位统一，将百分比转换为小数计算。
步骤1：定义事件与已知条件
- 事件A：产品来自工厂A，$P(A)=30\%=0.3$
- 事件B：产品来自工厂B，$P(B)=70\%=0.7$
- 事件C：抽到次品
- 工厂A的次品率$P(C|A)=2\%=0.02$
- 工厂B的次品率$P(C|B)=1\%=0.01$
步骤2：计算总次品率$P(C)$
根据全概率公式：
$\begin{aligned}P(C) &= P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B) \\&= 0.02 \times 0.3 + 0.01 \times 0.7 \\&= 0.006 + 0.007 \\&= 0.013\end{aligned}$
步骤3：应用贝叶斯定理计算$P(A|C)$
$\begin{aligned}P(A|C) &= \frac{P(C|A)P(A)}{P(C)} \\&= \frac{0.02 \times 0.3}{0.013} \\&= \frac{0.006}{0.013} \\&\approx 0.4615 \quad (\text{即约}46.2\%)\end{aligned}$