题目
[题目]设随机变量 sim N((2,2)^2) ,且 +bsim N(0,1) 则-|||-()-|||-A、 a=2 b=-2-|||-B、 =-2, b=-1-|||-C、 =dfrac (1)(2), b=-1-|||-D、 =-2, b=1
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量 $X$ 的均值和方差
由于 $X\sim N({2,2}^{2})$，所以 $X$ 的均值 $\mu = 2$，方差 $\sigma^2 = 4$。
步骤 2：确定 $aX+b$ 的均值和方差
由于 $aX+b\sim N(0,1)$，所以 $aX+b$ 的均值为 $0$，方差为 $1$。
均值变换：$E(aX+b) = aE(X) + b = a\mu + b = 0$。
方差变换：$Var(aX+b) = a^2Var(X) = a^2\sigma^2 = 1$。
步骤 3：求解 $a$ 和 $b$
根据方差变换公式，$a^2\sigma^2 = 1$，代入 $\sigma^2 = 4$，得到 $a^2 \cdot 4 = 1$，解得 $a = \pm \dfrac{1}{2}$。
根据均值变换公式，$a\mu + b = 0$，代入 $\mu = 2$，得到 $a \cdot 2 + b = 0$，解得 $b = -2a$。
当 $a = \dfrac{1}{2}$ 时，$b = -1$；当 $a = -\dfrac{1}{2}$ 时，$b = 1$。但根据选项，只有 $a = \dfrac{1}{2}$，$b = -1$ 符合。
由于 $X\sim N({2,2}^{2})$，所以 $X$ 的均值 $\mu = 2$，方差 $\sigma^2 = 4$。
步骤 2：确定 $aX+b$ 的均值和方差
由于 $aX+b\sim N(0,1)$，所以 $aX+b$ 的均值为 $0$，方差为 $1$。
均值变换：$E(aX+b) = aE(X) + b = a\mu + b = 0$。
方差变换：$Var(aX+b) = a^2Var(X) = a^2\sigma^2 = 1$。
步骤 3：求解 $a$ 和 $b$
根据方差变换公式，$a^2\sigma^2 = 1$，代入 $\sigma^2 = 4$，得到 $a^2 \cdot 4 = 1$，解得 $a = \pm \dfrac{1}{2}$。
根据均值变换公式，$a\mu + b = 0$，代入 $\mu = 2$，得到 $a \cdot 2 + b = 0$，解得 $b = -2a$。
当 $a = \dfrac{1}{2}$ 时，$b = -1$；当 $a = -\dfrac{1}{2}$ 时，$b = 1$。但根据选项，只有 $a = \dfrac{1}{2}$，$b = -1$ 符合。