一部件包括10部分,每部分的长度是一随机变量,相互独立且具有同一分布,其数学期望为2 mm ,均方差为0.05 mm,规定总长度为20 ± 0.1 mm 时产品合格,试求产品合格的概率。已 知 :( 0.6 ) = 0.7257;( 0.63 ) = 0.7357。

本题考查独立同分布随机变量之和的概率计算，核心思路是利用中心极限定理将总和的分布近似为正态分布，再通过标准化转化为标准正态分布来求解概率。

步骤1：设随机变量并明确分布

设每个部分的长度为$X_i$（$i=1,2,\dots,10$），则：

• 期望$E(X_i)=2\,\text{mm}$，方差$D(X_i)=(0.05)^2=0.0025\,\text{mm}^2$
• $X_i$相互独立同分布，总长度$Y=\sum_{i=1}^{10}X_i$，求$P\{20-0.1\leq Y\leq20+0.1\}=P\{19.9\leq Y\leq20.1\}$。

步骤2：用中心极限定理近似

根据中心极限定理，当$n=10$较大时，$Y$近似服从正态分布：
$Y\sim N\left(\mu=nE(X_i),\sigma^2=nD(X_i)\right)=N\left(10\times2,10\times0.0025\right)=N(20,0.025)$
标准差$\sigma=\sqrt{0.025}\approx0.1581\,\text{mm}$。

步骤3：标准化转化为标准正态分布

设$Z=\frac{Y-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，则：
$P\{19.9\leq Y\leq20.1\}=P\left\{\frac{19.9-20}{0.1581}\leq Z\leq\frac{20.1-20}{0.1581}\right\}$
计算得：
$\frac{-0.1}{0.1581}\approx-0.63,\quad\frac{0.1}{0.1581}\approx0.63$
即$P\{-0.63\leq Z\leq0.63\}$。

步骤4：查标准正态分布表计算概率

标准正态分布概率公式：
$P\{-a\leq Z\leq a\}=2\Phi(a)-1$
已知$\Phi(0.63)=0.7357$，则：
$P\{-0.63\leq Z\leq0.63\}=2\times0.7357-1=0.4714$