3、设某机器生产的零件长度（单位：cm）Xsim N(mu,sigma^2)，今抽取容量为16的样本，测得样本均值overline(x)=10，样本方差s^2=0.16.（1）求mu的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设H_(0):sigma^2leq0.1（显著性水平为0.05）.（附注）t_(0.05)(16)=1.746，t_(0.05)(15)=1.753，t_(0.025)(15)=2.132，X_(0.05)^2(16)=26.296，X_(0.05)^2(15)=24.996，X_(0.025)^2(15)=27.488.

本题主要考查正态分布参数的置信区间估计以及假设检验的相关知识。解题思路如下：

（1）求 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间

已知样本均值 $\overline{x}=10$，样本方差 $s^{2}=0.16$，则样本标准差 $s = \sqrt{0.16}=0.4$，样本容量 $n = 16$，显著性水平 $\alpha = 0.05$。
由于总体方差 $\sigma^{2}$ 未知，我们使用 $t$ 分布来构造置信区间。自由度为 $n - 1 = 16 - 1 = 15$。
查 $t$ 分布表得 $t_{\alpha/2}(n - 1)=t_{0.025}(15)=2.132$。
根据正态分布参数 $\mu$ 的置信区间公式为 $\left( \overline{x} \pm t_{\alpha/2}(n - 1) \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$。
将 $\overline{x}=10$，$s = 0.4$，$n = 16$ 代入公式可得：
$\begin{align*}&\left( 10 \pm 2.132 \times \frac{0.4}{\sqrt{16}} \right)\\=&\left( 10 \pm 2.132 \times \frac{0.4}{4} \right)\\=&\left( 10 \pm 0.2132 \right)\\=&(9.7868, 10.2132)\end{align*}$

（2）检验假设 $H_{0}:\sigma^{2}\leq0.1$

我们使用 $\chi^{2}$ 分布来进行假设检验。检验统计量为 $\chi^{2}=\frac{(n - 1)s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}$，其中 $\sigma_{0}^{2}=0.1$ 是假设的总体方差。
将 $n = 16$，$s^{2}=0.16$ 代入可得：
$\chi^{2}=\frac{(16 - 1)\times 0.16}{0.1}=\frac{15\times 0.16}{0.1}=24$
自由度为 $n - 1 = 16 - 1 = 15$。
查 $\chi^{2}$ 分布表得 $\chi_{0.05}^{2}(15)=24.996$。
因为 $\chi^{2}=24 < 24.996$，所以不拒绝原假设 $H_{0}$。