甲乙两个班级统计学考试成绩资料如下：甲班的平均分数为75分，标准差为7分；乙班的考试成绩频数分布表如表2一18所示。表 2-18 乙班考试成绩频数分布表-|||-分数(分) 人数(人)-|||-60以下 4-|||-sim 70 8-|||-sim 80 13-|||-.sim 90 7-|||-90以上 5 要求：(1)计算乙班的平均考试分数。 (2)计算乙班考试分数的方差及标准差。 (3)计算乙班考试分数的离散系数。 (4)比较甲乙两个班级考试分数的离散程度的大小。[东北财经大学2011研]

题目考察知识和解题思路

本题主要考察统计中数据描述集中趋势（平均分数）、离散趋势（方差、标准差、离散系数的计算，以及通过离散系数比较不同数据集的离散程度。

（1）乙班平均考试分数计算

思路：分组数据的平均分数需用组中值加权计算，公式为：
$\bar{x} = \frac{\sum (M_i \cdot f_i)}{\sum f_i}$

• 组中值确定：60分以下取555，60~70取65，70~80取75，80~90取85，90以上取95。
• 计算加权总和：
  $\sum (M_i \cdot f_i) = 555 \times 4 + 65 \times 8 + 75 \times 13 + 85 \times 7 + 95 \times 5 = 220 + 520 + 975 + 595 + 475 = 2785$
• 总人数：$\sum f_i = 4 + 8 + 13 + 7 + 5 = 37$
• 平均分数：
  $\bar{x} = \frac{2785 / 37\} \approx 75.27 \text{分}$

（2）乙班考试分数的方差及标准差计算

思路：分组数据的方差公式为：
$s^2 = \frac{\sum [(M_i - \bar{x})^2 \cdot f_i]}{\sum f_i}$
标准差为方差的平方根。

• 计算离差平方加权总和（以$\bar{x} \approx 75.27$为例）：
  • 60分以下：$(55 - 75.27)^2 \times 4 \approx 410.87 \times 4 = 1643.5$
    60~70：$(65 - 75.27)^2 \times 8 \approx 105.47 \times 8 = 843.8$
    70~80：$(75 - 75.27)^2 \times 13 \approx 0.073 \times 13 = 0.9$
    80~90：$(85 - 75.27)^2 \times 7 \approx 94.67 \times 7 = 662.7$
    90以上：$(95 - 75.27)^2 \times 5 \approx 389.27 \times 5 = 1946.4$
    总和：$\sum [(M_i - \bar{x})^2 \cdot f_i] \approx 1643.5 + 843.8 + 0.9 + 662.7 + 1946.4 = 5097.3$
• 方差：
  $s^2 = 5097.3 / 37 \approx 137.76$
• 标准差：
  $s = \sqrt{137.76} \approx 11.74$

（3）乙班考试分数的离散系数计算

思路：离散系数（变异系数）公式为：
$v_s = \frac{s}{\bar{x}}$
代入数据：
$v s_{\text{乙}} = 11.74 / 75.27 \approx 0.156$

（4）甲乙两班离散程度比较

思路：** 离散系数消除了平均水平的影响，适用于比较不同数据集的离散程度。

• 甲班离散系数：
  $v s_{\text{甲}} = 7 / 75 \approx 0.093$
• 比较 比较：$v s_{\text{甲}} (0.093) < v s_{\text{乙}} (0.156)$，故甲班成绩更集中，乙班更分散。