题目

设总体X的概率密度为f（x）= 2e−2(x−θ)，x＞0 0， x≤0 ，其中θ＞0是未知参数．从总体X中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn，记 θ =min（X1，X2，…，Xn），（1）求总体X的分布函数F（x）；（2）求统计量 θ 的分布函数F θ （x）；（3）如果用 θ 作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性．

设总体X的概率密度为f（x）=
2e−2(x−θ)，x＞0
  0，           x≤0
，其中θ＞0是未知参数．从总体X中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn，记
θ
=min（X1，X2，…，Xn），
（1）求总体X的分布函数F（x）；
（2）求统计量
θ
的分布函数F
θ
（x）；
（3）如果用
θ
作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性．

题目解答

答案

（1）
因为 F(x)＝
∫
f(t)dt，
所以：
①当x≤θ时，F（x）=0；
②当x＞θ时，F(x)＝
∫
2e−2(t−θ)dt＝1−e−2(x−θ)，
即：F(x) ＝ 
0，         x≤θ
1−e−2(x−θ)  x＞θ
．
（2）
因为：
θ
=min（X1，X2，…，Xn），
所以：
F
θ
(x)＝P{
θ
≤x}＝P{min(X1，X2，…，Xn)≤x}
＝1−P{min(X1，X2，…，Xn)＞x}
＝1−P{X1＞x，X2＞x，…，Xn＞x}
＝1−P{X1＞x}P{X2＞x}…P{Xn＞x}
＝1−[1−F(x)]n
＝1−[1−
0， x≤θ
1−e−2(x−θ)， x＞θ
]n＝1−[
问题解析
直接利用分布函数的定义计算F（X）与 F
θ
(x)，并验证是否有 E(
θ
)=E（θ）．
名师点评
本题考点：
无偏估计；连续型随机变量的函数的分布函数的求解．
考点点评：
本题考查了连续型随机变量的分布函数的计算以及无偏估计的概念，是基础型题目．

解析

步骤 1：求总体X的分布函数F（x）
根据分布函数的定义，F(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt，其中f(t)是概率密度函数。
① 当x ≤ θ时，f(t) = 0，所以F(x) = 0。
② 当x > θ时，F(x) = ∫_{θ}^{x} 2e^{-2(t-θ)} dt = 1 - e^{-2(x-θ)}。
步骤 2：求统计量
θ
的分布函数F
θ
（x）
统计量
θ
=min（X_1，X_2，…，X_n），其分布函数F
θ
(x) = P(
θ
≤ x) = 1 - P(
θ
> x) = 1 - P(X_1 > x, X_2 > x, …, X_n > x) = 1 - [1 - F(x)]^n。
步骤 3：讨论
θ
作为θ的估计量是否具有无偏性
无偏性是指E(
θ
) = θ。计算E(
θ
) = ∫_{θ}^{∞} x f(x) dx，其中f(x)是
θ
的概率密度函数。