题目
4、设随机变量X的概率密度为: .f(x)= ^2),0lt xlt theta 0, . 。-|||-,其中未知参数 theta gt 0 ,X1,···,Xn是-|||-来自X的样本,求(1)θ的矩估计;(2)θ的极大似然估计。
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解期望
首先，我们需要计算随机变量X的期望E(X)。根据概率密度函数f(x)，我们有：
$$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{2x}{{\theta}^{2}} dx$$
步骤 2：计算积分
计算上述积分，我们得到：
$$E(X) = \int_{0}^{\theta} \frac{2x^2}{{\theta}^{2}} dx = \frac{2}{3}\theta$$
步骤 3：求解矩估计
令E(X)等于样本均值X，即：
$$E(X) = X = \frac{2}{3}\theta$$
解得：
$$\theta = \frac{3}{2}X$$
步骤 4：求解似然函数
似然函数为：
$$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i) = \prod_{i=1}^{n} \frac{2x_i}{{\theta}^{2}} = \frac{2^n}{\theta^{2n}} \prod_{i=1}^{n} x_i$$
步骤 5：求解极大似然估计
由于L(θ)是θ的单调减少函数，所以θ的极大似然估计量为：
$$\hat{\theta} = max\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$$
首先，我们需要计算随机变量X的期望E(X)。根据概率密度函数f(x)，我们有：
$$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{2x}{{\theta}^{2}} dx$$
步骤 2：计算积分
计算上述积分，我们得到：
$$E(X) = \int_{0}^{\theta} \frac{2x^2}{{\theta}^{2}} dx = \frac{2}{3}\theta$$
步骤 3：求解矩估计
令E(X)等于样本均值X，即：
$$E(X) = X = \frac{2}{3}\theta$$
解得：
$$\theta = \frac{3}{2}X$$
步骤 4：求解似然函数
似然函数为：
$$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i) = \prod_{i=1}^{n} \frac{2x_i}{{\theta}^{2}} = \frac{2^n}{\theta^{2n}} \prod_{i=1}^{n} x_i$$
步骤 5：求解极大似然估计
由于L(θ)是θ的单调减少函数，所以θ的极大似然估计量为：
$$\hat{\theta} = max\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$$