题目
12.求总体N(20，3)的容量分别为10和15的两独立样本均值之差的绝对值大于0.3的概率.(Phi(0.42)=0.6628))
12.求总体N(20，3)的容量分别为10和15的两独立样本均值之差的绝对值大于0.3的概率.($\Phi(0.42)=0.6628)$)
题目解答
答案
设两样本均值分别为 $\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$，则：
\[
\overline{X} \sim N\left(20, \frac{3}{10}\right), \quad \overline{Y} \sim N\left(20, \frac{3}{15}\right)
\]
差值 $\overline{X} - \overline{Y} \sim N\left(0, \frac{3}{10} + \frac{3}{15}\right) = N(0, 0.5)$。
标准化得：
\[
Z = \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{\sqrt{0.5}} \sim N(0, 1)
\]
求 $P(|\overline{X} - \overline{Y}| > 0.3)$：
\[
P\left(|Z| > \frac{0.3}{\sqrt{0.5}}\right) = P(|Z| > 0.4242) \approx 2[1 - \Phi(0.42)] = 2[1 - 0.6628] = 0.6744
\]
**答案：** $\boxed{0.6744}$
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
根据题目，总体服从正态分布 $N(20, 3)$。对于容量为10的样本，其均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N\left(20, \frac{3}{10}\right)$。对于容量为15的样本，其均值 $\overline{Y}$ 服从正态分布 $N\left(20, \frac{3}{15}\right)$。
步骤 2：计算样本均值之差的分布
样本均值之差 $\overline{X} - \overline{Y}$ 服从正态分布 $N\left(0, \frac{3}{10} + \frac{3}{15}\right)$，即 $N(0, 0.5)$。
步骤 3：标准化并计算概率
标准化差值 $\overline{X} - \overline{Y}$，得到 $Z = \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{\sqrt{0.5}}$，其服从标准正态分布 $N(0, 1)$。求 $P(|\overline{X} - \overline{Y}| > 0.3)$，即求 $P\left(|Z| > \frac{0.3}{\sqrt{0.5}}\right)$，即 $P(|Z| > 0.4242)$。根据标准正态分布表，$\Phi(0.42) = 0.6628$，所以 $P(|Z| > 0.4242) \approx 2[1 - \Phi(0.42)] = 2[1 - 0.6628] = 0.6744$。
根据题目，总体服从正态分布 $N(20, 3)$。对于容量为10的样本，其均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N\left(20, \frac{3}{10}\right)$。对于容量为15的样本，其均值 $\overline{Y}$ 服从正态分布 $N\left(20, \frac{3}{15}\right)$。
步骤 2：计算样本均值之差的分布
样本均值之差 $\overline{X} - \overline{Y}$ 服从正态分布 $N\left(0, \frac{3}{10} + \frac{3}{15}\right)$，即 $N(0, 0.5)$。
步骤 3：标准化并计算概率
标准化差值 $\overline{X} - \overline{Y}$，得到 $Z = \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{\sqrt{0.5}}$，其服从标准正态分布 $N(0, 1)$。求 $P(|\overline{X} - \overline{Y}| > 0.3)$，即求 $P\left(|Z| > \frac{0.3}{\sqrt{0.5}}\right)$，即 $P(|Z| > 0.4242)$。根据标准正态分布表，$\Phi(0.42) = 0.6628$，所以 $P(|Z| > 0.4242) \approx 2[1 - \Phi(0.42)] = 2[1 - 0.6628] = 0.6744$。