题目
设函数f(x)=dfrac (sin x+{e)^2ax-1}(x) . neq 0-|||-__-|||-a, x=0在(-∞,+∞)上连续,则a=________.正确答案:-1
设函数f(x)=
在(-∞,+∞)上连续,则a=________.
正确答案:-1
题目解答
答案
解析:
=1+2a,令1+2a=a,则a=-1,即当a=-1时,f(x)在x=0处连续,进而区间(-∞,+∞)上连续.
解析
步骤 1：求极限
首先，我们需要求出函数$f(x)$在$x=0$处的极限。由于$f(x)$在$x=0$处的定义为$a$，因此我们需要求出$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$，并令其等于$a$，以保证函数在$x=0$处连续。
步骤 2：应用洛必达法则
由于$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x+{e}^{2ax}-1}{x}$是$\dfrac{0}{0}$型的极限，我们可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果$\lim _{x\rightarrow c}\dfrac {f(x)}{g(x)}$是$\dfrac{0}{0}$或$\dfrac{\infty}{\infty}$型的极限，且$\lim _{x\rightarrow c}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$存在，则$\lim _{x\rightarrow c}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow c}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$。
步骤 3：计算导数
计算分子和分母的导数，我们得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos x+2a{e}^{2ax}}{1}$。由于$e^{2ax}$在$x=0$处的值为$1$，因此极限变为$\lim _{x\rightarrow 0}(\cos x+2a)$。由于$\cos x$在$x=0$处的值为$1$，因此极限进一步简化为$1+2a$。
步骤 4：求解a
为了使函数在$x=0$处连续，我们需要令$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=a$，即$1+2a=a$。解这个方程，我们得到$a=-1$。
首先，我们需要求出函数$f(x)$在$x=0$处的极限。由于$f(x)$在$x=0$处的定义为$a$，因此我们需要求出$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$，并令其等于$a$，以保证函数在$x=0$处连续。
步骤 2：应用洛必达法则
由于$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x+{e}^{2ax}-1}{x}$是$\dfrac{0}{0}$型的极限，我们可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果$\lim _{x\rightarrow c}\dfrac {f(x)}{g(x)}$是$\dfrac{0}{0}$或$\dfrac{\infty}{\infty}$型的极限，且$\lim _{x\rightarrow c}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$存在，则$\lim _{x\rightarrow c}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow c}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$。
步骤 3：计算导数
计算分子和分母的导数，我们得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos x+2a{e}^{2ax}}{1}$。由于$e^{2ax}$在$x=0$处的值为$1$，因此极限变为$\lim _{x\rightarrow 0}(\cos x+2a)$。由于$\cos x$在$x=0$处的值为$1$，因此极限进一步简化为$1+2a$。
步骤 4：求解a
为了使函数在$x=0$处连续，我们需要令$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=a$，即$1+2a=a$。解这个方程，我们得到$a=-1$。