题目

设 X_1, X_2, ..., X_n 为来自总体 N(mu_1, sigma^2) 的简单随机样本，Y_1, Y_2, ..., Y_m 为来自总体 N(mu_2, 2sigma^2) 的简单随机样本，且两样本相互独立。记 overline(X) = (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i，overline(Y) = (1)/(m) sum_(i=1)^m Y_i，S_1^2 = (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2，S_2^2 = (1)/(m-1) sum_(i=1)^m (Y_i - overline(Y))^2，则 A. (S_1^2)/(S_2^2) sim F(n, m).B. (S_1^2)/(S_2^2) sim F(n-1, m-1).C. (2S_1^2)/(S_2^2) sim F(n, m).D. (2S_1^2)/(S_2^2) sim F(n-1, m-1).

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $N(\mu_1, \sigma^2)$ 的简单随机样本，$Y_1, Y_2, \cdots, Y_m$ 为来自总体 $N(\mu_2, 2\sigma^2)$ 的简单随机样本，且两样本相互独立。记 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，$\overline{Y} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m Y_i$，$S_1^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，$S_2^2 = \frac{1}{m-1} \sum_{i=1}^m (Y_i - \overline{Y})^2$，则

  • A. $\frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n, m)$.
  • B. $\frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n-1, m-1)$.
  • C. $\frac{2S_1^2}{S_2^2} \sim F(n, m)$.
  • D. $\frac{2S_1^2}{S_2^2} \sim F(n-1, m-1)$.

题目解答

答案

根据样本方差的性质，有 \[ \frac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1), \quad \frac{(m-1)S_2^2}{2\sigma^2} \sim \chi^2(m-1). \] 构造 $F$ 统计量： \[ F = \frac{\frac{(n-1)S_1^2/\sigma^2}{n-1}}{\frac{(m-1)S_2^2/(2\sigma^2)}{m-1}} = \frac{2S_1^2}{S_2^2} \sim F(n-1, m-1). \] 因此，正确答案为 $\boxed{D}$。

解析

考查要点：本题主要考查F分布的构造条件以及样本方差的分布性质。关键在于正确识别两个样本方差对应的卡方分布形式，并合理构造F统计量。

解题思路：

  1. 确定样本方差的分布：根据正态总体样本方差的性质，分别写出$S_1^2$和$S_2^2$对应的卡方分布形式。
  2. 标准化处理：将两个卡方分布变量分别标准化为自由度的比值。
  3. 构造F统计量：将标准化后的分子和分母相除，得到最终的F分布形式。

破题关键：

  • 注意总体方差不同：$Y$样本的总体方差为$2\sigma^2$，需在构造卡方分布时正确代入。
  • 自由度匹配：F分布的自由度由两个卡方分布的自由度决定，需严格对应分子和分母的自由度。

步骤1：确定样本方差的卡方分布

  • 对于$X$样本（总体方差$\sigma^2$）：
    $\frac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
  • 对于$Y$样本（总体方差$2\sigma^2$）：
    $\frac{(m-1)S_2^2}{2\sigma^2} \sim \chi^2(m-1)$

步骤2：构造F统计量

将两个卡方变量分别标准化为自由度的比值：
$F = \frac{\frac{(n-1)S_1^2/\sigma^2}{n-1}}{\frac{(m-1)S_2^2/(2\sigma^2)}{m-1}} = \frac{S_1^2/\sigma^2}{S_2^2/(2\sigma^2)} = \frac{2S_1^2}{S_2^2}$

步骤3：确定自由度

分子卡方分布自由度为$n-1$，分母卡方分布自由度为$m-1$，因此：
$\frac{2S_1^2}{S_2^2} \sim F(n-1, m-1)$