题目

x_1, x_2, x_3 为来自期望为 mu 方差为 sigma^2 的总体 X 的样本，overline(x) 为样本均值，下面的说法中错误的是 A (1)/(2) sum_(i=1)^2 (X_i - overline(x))^2 是 sigma^2 的一个无偏估计量 B (x_1 + x_2 + x_3)/(3) 是 mu 的一个无偏估计量 C X_1 是 mu 的一个无偏估计量 D (1)/(2) sum_(i=1)^2 (X_i - overline(x))^2 是 sigma^2 的一个无偏估计量

$x_1, x_2, x_3$ 为来自期望为 $\mu$ 方差为 $\sigma^2$ 的总体 $X$ 的样本，$\overline{x}$ 为样本均值，下面的说法中错误的是

A $\frac{1}{2} \sum_{i=1}^2 (X_i - \overline{x})^2$ 是 $\sigma^2$ 的一个无偏估计量

B $\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ 是 $\mu$ 的一个无偏估计量

C $X_1$ 是 $\mu$ 的一个无偏估计量

D $\frac{1}{2} \sum_{i=1}^2 (X_i - \overline{x})^2$ 是 $\sigma^2$ 的一个无偏估计量

题目解答

答案

**答案：D** **解析：** - **选项B**：样本均值 $\overline{X} = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}$ 的期望为 $\mu$，是无偏估计量。 - **选项C**：单个样本 $X_1$ 的期望为 $\mu$，是无偏估计量。 - **选项A**：计算得 $E\left[\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3}(X_i - \overline{X})^2\right] = \sigma^2$，是无偏估计量。 - **选项D**：与选项A相同，但题目要求找出错误说法，考虑笔误或理解有误。 **答案：D**（题目中D应为其他形式，如 $\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3}(X_i - \overline{X})^2$，则非无偏估计量）。

解析

本题主要考查无偏估计量的概念。若一个估计量 $\hat{\theta}$ 的数学期望等于被估计的参数 $\theta$，即 $E(\hat{\theta}) = \theta$，则称 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量。下面我们对每个选项逐一进行分析：

  1. 选项A：
    • 首先明确样本均值 $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，这里 $n = 3$，$\overline{x}=\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$。
    • 我们知道 $\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\overline{X})^2=\sum_{i = 1}^{n}(X_i^2 - 2X_i\overline{X}+\overline{X}^2)=\sum_{i = 1}^{n}X_i^2-2\overline{X}\sum_{i = 1}^{n}X_i + n\overline{X}^2$。
    • 因为 $\sum_{i = 1}^{n}X_i=n\overline{X}$，所以 $\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\overline{X})^2=\sum_{i = 1}^{n}X_i^2 - n\overline{X}^2$。
    • 然后求期望 $E\left[\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\right]$，根据期望的性质 $E(aY)=aE(Y)$（$a$ 为常数），有 $E\left[\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\right]=\frac{1}{n - 1}E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\right]=\frac{1}{n - 1}E\left(\sum_{i = 1}^{n}X_i^2 - n\overline{X}^2\right)$。
    • 又因为 $E(X_i^2)=D(X_i)+[E(X_i)]^2=\sigma^2+\mu^2$，$E(\overline{X}^2)=D(\overline{X})+[E(\overline{X})]^2=\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2$。
    • 所以 $E\left(\sum_{i = 1}^{n}X_i^2 - n\overline{X}^2\right)=\sum_{i = 1}^{n}E(X_i^2)-nE(\overline{X}^2)=n(\sigma^2+\mu^2)-n\left(\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2\right)=(n - 1)\sigma^2$。
    • 则 $E\left[\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\right]=\frac{1}{n - 1}\times(n - 1)\sigma^2=\sigma^2$。
    • 当 $n = 3$ 时，$E\left[\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{3}(X_i - \overline{X})^2\right]=\sigma^2$，所以 $\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{3}(X_i - \overline{X})^2$ 是 $\sigma^2$ 的一个无偏估计量。
  2. 选项B：
    • 已知样本均值 $\overline{x}=\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$，根据期望的线性性质 $E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$（$a,b$ 为常数），可得 $E\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\right)=\frac{1}{3}(E(x_1)+E(x_2)+E(x_3))$。
    • 因为 $x_1,x_2,x_3$ 是来自期望为 $\mu$ 的总体 $X$ 的样本，即 $E(x_1)=E(x_2)=E(x_3)=\mu$，所以 $E\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\right)=\frac{1}{3}(\mu+\mu+\mu)=\mu$，故 $\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ 是 $\mu$ 的一个无偏估计量。
  3. 选项C：
    • 由于 $x_1$ 是来自期望为 $\mu$ 的总体 $X$ 的样本，根据样本的性质，样本的期望等于总体的期望，即 $E(x_1)=\mu$，所以 $x_1$ 是 $\mu$ 的一个无偏估计量。
  4. 选项D：
    • 从题目来看，选项D与选项A内容重复，若按照正常逻辑，若这里是 $\frac{1}{3}\sum_{i = 1}^{3}(X_i - \overline{X})^2$，由前面计算可知 $E\left[\frac{1}{3}\sum_{i = 1}^{3}(X_i - \overline{X})^2\right]=\frac{1}{3}E\left[\sum_{i = 1}^{3}(X_i - \overline{X})^2\right]=\frac{1}{3}\times2\sigma^2=\frac{2}{3}\sigma^2\neq\sigma^2$，所以它不是 $\sigma^2$ 的无偏估计量。