int_(-1)^1dyint_(-1)^yysqrt(1+x^2)-y^(2)dx=____

为了解决给定的积分 $\int_{-1}^{1}dy\int_{-1}^{y}y\sqrt{1+x^{2}-y^{2}}dx$，我们将遵循以下步骤： 1. **理解积分区域**：积分区域由 $y$ 的范围从 $-1$ 到 $1$ 和 $x$ 的范围从 $-1$ 到 $y$ 定义。这在 $xy$-平面上描述了一个三角形区域，顶点位于 $(-1, -1)$，$(-1, 1)$，和 $(1, 1)$。 2. **改变积分顺序**：为了简化积分，我们可以改变积分顺序。新的积分区域将 $x$ 的范围从 $-1$ 到 $1$ 和 $y$ 的范围从 $x$ 到 $1$。因此，积分变为： \[ \int_{-1}^{1}dx\int_{x}^{1}y\sqrt{1+x^{2}-y^{2}}dy. \] 3. **关于 $y$ 进行积分**：内积分是关于 $y$ 的： \[ \int_{x}^{1}y\sqrt{1+x^{2}-y^{2}}dy. \] 为了计算这个积分，我们使用代换 $u = 1 + x^2 - y^2$。那么 $du = -2ydy$，或者 $ydy = -\frac{1}{2}du$。积分的极限变化如下：当 $y = x$ 时，$u = 1 + x^2 - x^2 = 1$，当 $y = 1$ 时，$u = 1 + x^2 - 1 = x^2$。因此，积分变为： \[ \int_{1}^{x^2}-\frac{1}{2}\sqrt{u}du = \frac{1}{2}\int_{x^2}^{1}\sqrt{u}du. \] 现在，我们计算 $\sqrt{u}$ 的积分： \[ \int_{x^2}^{1}\sqrt{u}du = \int_{x^2}^{1}u^{1/2}du = \left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{x^2}^{1} = \frac{2}{3}\left(1^{3/2} - (x^2)^{3/2}\right) = \frac{2}{3}\left(1 - x^3\right). \] 因此，内积分的值为： \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\left(1 - x^3\right) = \frac{1}{3}\left(1 - x^3\right). \] 4. **关于 $x$ 进行积分**：现在我们需要计算外积分： \[ \int_{-1}^{1}\frac{1}{3}\left(1 - x^3\right)dx = \frac{1}{3}\int_{-1}^{1}\left(1 - x^3\right)dx. \] 我们可以将这个积分分为两个积分： \[ \frac{1}{3}\left(\int_{-1}^{1}1dx - \int_{-1}^{1}x^3dx\right). \] 第一个积分是： \[ \int_{-1}^{1}1dx = \left[x\right]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2. \] 第二个积分是： \[ \int_{-1}^{1}x^3dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{(-1)^4}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0. \] 因此，外积分的值为： \[ \frac{1}{3}\left(2 - 0\right) = \frac{2}{3}. \] 最终答案是： \[ \boxed{\frac{2}{3}}. \]