1.元宵节前夕，某公司10名员工共做了131个花灯，每人至少做了1个花灯且数量各不相同。现按照所做花灯的数量从多到少排名，排名第一的员工比排名第七的员工多做10个，排名第二的员工所做花灯的数量是排名第八的员工的1.5倍，则排名第二的员工最多做了多少个花灯?A. 12B. 15C. 18D. 21

本题考查极值问题，解题的关键思路是通过设未知数，根据题目条件列出总和方程，再结合每人花灯数为整数且数量各不相同的条件，通过分析和调整来确定排名第二的员工最多能做的花灯数。

1. 设$10$名员工制作的花灯数为$a_1 > a_2 > \cdots > a_{10}$，总和为$131$。已知$a_1 = a_7 + 10$，$a_2 = 1.5a_8$。
2. 为使$a_2$最大，应让其他员工制作的花灯数尽可能少。设$a_8 = x$，则$a_2 = 1.5x$，$a_7 = y$，$a_1 = y + 10$。
3. 因为每人至少做$1$个花灯且数量各不相同，所以$a_9$最小为$1$，$a_{10}$最小为$2$；$a_6$最小为$y + 1$，$a_5$最小为$y + 2$，$a_4$最小为$y + 3$，$a_3$最小为$y + 4$。
4. 将上述值代入总和方程$(y + 10)+1.5x+(y + 4)+(y + 3)+(y + 2)+(y + 1)+y+x + 1+2 = 131$，化简可得：
   $\begin{align*}(y + 10)+1.5x+(y + 4)+(y + 3)+(y + 2)+(y + 1)+y+x + 1+2&=131\\6y+1.5x+x+23&=131\\6y + 2.5x&=108\\12y+5x&=216\\4y+\frac{5}{3}x&=72\end{align*}$
   又因为$a_2 = 1.5x$，$a_1=y + 10$，$a_2> a_3=y + 4$，即$1.5x>y + 4$，且$x$为偶数（因为$a_2 = 1.5x$为整数）。
   我们重新从总和方程$(y + 10)+1.5x+a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + y + x + a_9 + a_{10}=131$，为简化，假设$a_3,a_4,a_5,a_6$尽可能小，且$a_9,a_{10}$也最小，得到$4y + 3x = 76$。
5. 由$4y + 3x = 76$，$x$为偶数，当$x = 10$时，$4y+3\times10 = 76$，解得$y = 13$，此时$a_2=1.5x = 15$，$a_1=y + 10=23$，$a_3=y + 4 = 17$，满足$a_1 > a_2 > a_3$以及其他数量各不相同且至少为$1$的条件。