3.设总体X的概率密度为-|||-(x;theta )= ) theta (x)^theta -1, 0lt xlt 1 0, . (theta gt 0),-|||-X1,X2,···,Xn是来自总体X的样本,求未知参数θ的矩估计量.

步骤 1：计算总体X的一阶原点矩
根据概率密度函数$f(x;\theta )=\theta {x}^{\theta -1}$，计算总体X的一阶原点矩$E(X)$。
$$E(X)=\int_{0}^{1}x\theta {x}^{\theta -1}dx=\int_{0}^{1}\theta {x}^{\theta }dx=\theta \int_{0}^{1}{x}^{\theta }dx$$
步骤 2：计算积分
计算积分$\int_{0}^{1}{x}^{\theta }dx$。
$$\int_{0}^{1}{x}^{\theta }dx=\left.\frac{{x}^{\theta +1}}{\theta +1}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{\theta +1}$$
步骤 3：计算总体X的一阶原点矩
将步骤2的结果代入步骤1，得到总体X的一阶原点矩$E(X)$。
$$E(X)=\theta \cdot \frac{1}{\theta +1}=\frac{\theta }{\theta +1}$$
步骤 4：计算样本均值
设样本均值为$\overline {X}$，则有$\overline {X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$。
步骤 5：建立矩估计方程
根据矩估计原理，令总体X的一阶原点矩$E(X)$等于样本均值$\overline {X}$，建立矩估计方程。
$$\frac{\theta }{\theta +1}=\overline {X}$$
步骤 6：求解矩估计量
解方程$\frac{\theta }{\theta +1}=\overline {X}$，得到未知参数θ的矩估计量$\hat {\theta }$。
$$\hat {\theta }=\frac{\overline {X}}{1-\overline {X}}$$