题目

(6)若 lim (u)_(n)=0, 则级数 sum _(i=1)^n(n)_(n) () .-|||-(A)一定收敛; (B)一定发散;-|||-(C)一定条件收敛; (D)可能收敛,也可能发散.-|||-(7)下列级数中发散的是 ()-|||-(A) sum _(n=1)^infty dfrac (1)(sqrt {{n)^3}}-|||-(C) .001+sqrt (0.001)+sqrt [3](0.001)+... -|||-(B) dfrac (1)(2)+dfrac (1)(4)+dfrac (1)(8)+dfrac (1)(16)+dfrac (1)(32)+... -|||-(D) dfrac (3)(5)-dfrac ({3)^2}({5)^2}+dfrac ({3)^3}({5)^3}-dfrac ({3)^4}({5)^4}+dfrac ({3)^5}({5)^5}-... -|||-(8)在下列级数中收敛的是 () .-|||-(A) sum _(n=1)^infty dfrac (1)(sqrt {2n+1)} (B) sum _(n=1)^infty dfrac (n)(3n+1) ;-|||-(C) sum _(n=1)^infty dfrac (100)({q)^n}, |9|lt 1; (D) 2^(x-1)-|||-(9)若正项级数∑u收敛,则下列级数中收敛的是 () .-|||-(A) sum _(n=1)^infty ((u)_(n)+dfrac (1)(100)); (B) sum _(i=1)^infty sqrt ({u)_(n)};-|||-(C) sum _(n=1)^infty ((-1))^n(omega )_(n); (D) sum _(n=1)^infty dfrac (1)({u)_(n)}-|||-(10)在下列级数中条件收敛的是 () .-|||-(A) sum _(n=1)^infty ((-1))^ndfrac (n)(n+1) (B) sum _(n=1)^infty ((-1))^infty dfrac (1)(sqrt {n)}-|||-(C) sum _(n=1)^infty ((-1))^ndfrac (1)({n)^2} (D) sum _(n=1)^infty ((-1))^ndfrac (1)(n(n+1))-|||-(11)在下列级数中绝对收敛的是 ()-|||-(A) sum _(n=1)^infty dfrac ({(-1))^n}(sqrt {2n+1)} (B) sum _(n=1)^infty ((-1))^ndfrac (1)(n)-|||-(C) sum _(n=1)^infty dfrac ({(-1))^n}(sqrt {{n)^3}} (D) sum _(n=1)^infty ((-1))^ndfrac (n-1)(n).-|||-(12)级数 sum _(n=1)^infty dfrac ({2)^n}(n+2)cdot (x)^n 的收敛半径 R= () .-|||-(A)1; (B)2; (C) dfrac (1)(2) ; (D) 。o-|||-(13)级数 sum _(n=1)^infty dfrac ({x)^n}(n) 的收敛区间为 () .-|||-(A) (-1,1); (B) [ -1,1); (C) (-1,1] ; (D) [ -1,1] .

题目解答

答案

解析

题目6：$\lim u_n=0$则级数()

考察知识：级数收敛的必要条件（$\lim u_n=0$）与充分条件的区分。
解题思路：$\lim u_n=0$是级数收敛的必要条件，但非充分充分条件。例如：

调和级数$\sum \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\ $，$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}{}=0$但发散；
$p-$级数$\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\ $（$p>1$），$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p}=0$且收敛。
故仅$\lim u_n=0$时，级数可能收敛也可能发散，选D。

题目7：下列级数中发散的是()

考察知识：常见级数的敛散性（$p-$级数、等比级数、几何级数）。

A：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^3}}=\sum_{n=1}^\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$，$p=3/2>1$，$p-$级数收敛；
B：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots$是等比级数，$q=1/2<1$，收敛；
C：$0.001+\sqrt{0.001}+\sqrt[3]{0.0.001}=10^{-3}$，$\sqrt[0.001}=10^{-3/2}$，$\sqrt[3{0.001}=10^{-1}$，…，通项$u_n=(10^{-3})^{1/n}=1$10.001=10^{-3}$，$\sqrt{0.001}=10^{-3/2}$，$\sqrt[3{0.001}=10^{-1}$，…，通项$un=(10^{-3})^{1/n}=10^{-3/n$，$\lim{n \to \infty} u_n=10^0=1\neq0$，发散；
D：等比级数，$|q|=3/5<1$，收敛。
选C**。

题目8：收敛的是()

考察知识：级数敛散性判别法（比较审敛法、等比级数、极限审敛法）

A：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$，与$\sum \frac{1/\sqrt{n}\}$比较，$\lim_{n \to \infty} \frac{1/\sqrt{2n+1}}{1/\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{2}}>0$，发散；
B：$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3n+1}$，$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{3n+1}=1/3\neq0$，发散；
C：$\sum_{x=1}^\infty \frac{100}{q^n}$（$|q|<1$），等比级数$|q|<1$收敛，但通项写为$q^n$更合理，仍收敛；
D：$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n-1}}{3^n}=\frac{1/2}\sum (2/3)^n$，等比级数$q=2/3<1$，收敛。
选**D。

题目9：正项级数收敛，则收敛的是()

考察知识：正项级数性质与交错级数收敛性

A：$\sum (u_n+1/100)=\sum u_n + \sum 1/100$，后者发散，故整体发散；
B：$\sum \sqrt{u_n}$，例如$\sum 1/n^2$收敛，但$\sum \sqrt{1/n^2}=\sum 1/n$发散，故不一定收敛；
C：$\sum (-1)^n u_n$，正项级数收敛则$\lim u_n=0$，由莱布尼茨判别法，交错级数收敛；
D：$\sum 1/u_n$，例如$\sum 1/n^2$收敛，但$\sum n^2$发散，故不一定收敛。
选C。

题目10：条件收敛的是()

考察知识：条件收敛（收敛但不绝对收敛）与绝对收敛的区分

A：$\sum (-1)^n \frac{n}{n+1}$，$\(\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}=1\neq0$，发散；
B：$\sum (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}$，$\sum |u_n|=\sum 1/\sqrt{n}$（$p=1/2<1$）发散，但交错级数由莱布尼茨判别法收敛，故条件收敛；
C：$(-1)^n (-1)^n \frac{1}{n^2}=\sum 1/n^2$，绝对收敛；
D：$\sum (-1)^n \frac{1}{n(n+1)}$，$\sum |u_n|=\sum 1/{n(n+1)}\leq\sum 1/n^2$收敛，绝对收敛。
选B。

题目11：绝对收敛的是()

考察知识：绝对收敛定义（$\sum |u_n|$收敛）

A：$\sum |(-1)^n/\sqrt{2n+1}|=\sum 1/\sqrt{2n+1}$，发散，不绝对收敛；
**B：$\sum |(-1)^n /n|=\sum 1/n$发散，不绝对收敛；
C：$\sum |(-1)^n/\sqrt{n^3}|=\sum 1/n^{3/2}$（$p=3/2>1$）收敛，绝对收敛；
D：$\sum |(-1)^n (n-1)/n|$，$\lim (n-1)/n=1\neq0$，发散。
选C。

题目12：$\sum_{n=1}^\infty} \frac{2^n}{n+2}x^n$收敛半径$R=$()

考察知识：幂级数收敛半径公式（比值法）
计算：$a_n=\frac{2^n}{n+2}$，$\lim_{n \to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}/(n+3)}{2^n/(n+2)}=\lim_{n\to\infty} 2\cdot\frac{n+2}{n+3}=2$，故$R=1/2$。选C。

题目13：$\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$收敛区间()

考察知识：幂级数收敛区间与端点判别
计算：收敛半径$R=1$（$\lim |a_{n+1}/a_n|=1$），区间$(-1,1)$。

端点$x=1$：$\sum 1/n$发散；
端点$x=-1$：$\sum (-1)^n /n$，交错级数收敛。
故收敛区间为$[-1,1)$，选B。