2.方程|(2z-1-i)/(2-(1-i)z)|=1所表示曲线的直角坐标方程为_____.

本题考查复数的模以及复数的运算，解题思路是先设出复数$z$的代数形式$z = x + yi$（$x,y\in R$），将其代入已知方程，然后根据复数模的计算公式化简方程，最后通过整理得到曲线的直角坐标方程。

1. 设$z = x + yi$（$x,y\in R$），将其代入方程$\left|\frac{2z - 1 - i}{2 - (1 - i)z}\right| = 1$可得：
   • 先计算分子$2z - 1 - i$：
     • $2z - 1 - i = 2(x + yi) - (1 + i)=2x + 2yi - 1 - i=(2x - 1)+(2y - 1)i$。
   • 再计算分母$2 - (1 - i)z$：
     • $2 - (1 - i)z = 2 - (1 - i)(x + yi)=2-(x + yi - xi - y{i}^{2})$。
     • 因为$i^{2}=-1$，所以$2-(x + yi - xi + y)=2 - x - y+(x - y)i$。
   • 此时原方程变为$\left|\frac{(2x - 1)+(2y - 1)i}{(2 - x - y)+(x - y)i}\right| = 1$。
2. 根据复数模的性质$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\vert z_1\vert}{\vert z_2\vert}$（$z_2\neq0$），由$\left|\frac{(2x - 1)+(2y - 1)i}{(2 - x - y)+(x - y)i}\right| = 1$可得$\vert(2x - 1)+(2y - 1)i\vert=\vert(2 - x - y)+(x - y)i\vert$。
   • 根据复数模的计算公式$\vert a + bi\vert=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$（$a,b\in R$），则$\sqrt{(2x - 1)^{2}+(2y - 1)^{2}}=\sqrt{(2 - x - y)^{2}+(x - y)^{2}}$。
3. 两边同时平方去掉根号：
   • $(2x - 1)^{2}+(2y - 1)^{2}=(2 - x - y)^{2}+(x - y)^{2}$。
   • 分别展开等式两边：
     • 左边$(2x - 1)^{2}+(2y - 1)^{2}=(2x)^{2}-2\times2x\times1 + 1^{2}+(2y)^{2}-2\times2y\times1 + 1^{2}=4x^{2}-4x + 1 + 4y^{2}-4y + 1$。
     • 右边$(2 - x - y)^{2}+(x - y)^{2}=[2-(x + y)]^{2}+(x - y)^{2}=2^{2}-2\times2\times(x + y)+(x + y)^{2}+(x - y)^{2}$。
     • 进一步展开$4-4(x + y)+(x^{2}+2xy + y^{2})+(x^{2}-2xy + y^{2})=4-4x - 4y+x^{2}+2xy + y^{2}+x^{2}-2xy + y^{2}=4 + 2x^{2}+2y^{2}-4x - 4y$。
   • 所以$4x^{2}-4x + 1 + 4y^{2}-4y + 1 = 4 + 2x^{2}+2y^{2}-4x - 4y$。
4. 移项化简：
   • $4x^{2}-4x + 1 + 4y^{2}-4y + 1-(4 + 2x^{2}+2y^{2}-4x - 4y)=0$。
   • $4x^{2}-4x + 1 + 4y^{2}-4y + 1 - 4 - 2x^{2}-2y^{2}+4x + 4y = 0$。
   • 合并同类项得$(4x^{2}-2x^{2})+(4y^{2}-2y^{2})+(-4x + 4x)+(-4y + 4y)+(1 + 1 - 4)=0$。
   • 即$2x^{2}+2y^{2}-2 = 0$。
   • 两边同时除以$2$得$x^{2}+y^{2}=1$。