5.设某餐厅外卖送餐时间X（单位：min）服从正态分布N（μ，σ²），现从该餐厅订单回访资料中抽取了9份订单，记录其送餐时间分别为x₁，x₂，…，x₉，并由此算出样本均值和样本方差分别为overline(x)=15，s²=2.5².求μ的双侧0.95置信区间，σ²的双侧0.9置信区间.

本题主要考查正态分布中总体均值 $\mu$ 和总体方差 $\sigma^2$ 的置信区间的计算。解题思路如下：

1. 求 $\mu$ 的双侧 0.95 置信区间

• 当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，对于正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{X}$ 服从自由度为 $n - 1$ 的 $t$ 分布，即 $\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1)$，其中 $S$ 为样本标准差，$n$ 为样本容量。
• 对于双侧置信区间，给定置信水平 $1 - \alpha$，$\mu$ 的置信区间公式为 $\left(\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$。
• 已知样本均值 $\overline{x}=15$，样本方差 $s^2 = 2.5^2$，则样本标准差 $s = 2.5$，样本容量 $n = 9$，置信水平为 $0.95$，所以 $\alpha=1 - 0.95 = 0.05$，$\frac{\alpha}{2}=0.025$，自由度为 $n - 1 = 9 - 1 = 8$。
• 查 $t$ 分布表得 $t_{0.025}(8) = 2.306$。
• 将上述值代入置信区间公式可得：
  $\begin{align*}&\left(15 - 2.306\times\frac{2.5}{\sqrt{9}},15 + 2.306\times\frac{2.5}{\sqrt{9}}\right)\\=&\left(15 - 2.306\times\frac{2.5}{3},15 + 2.306\times\frac{2.5}{3}\right)\\\approx&(13.087, 16.913)\end{align*}$

2. 求 $\sigma^2$ 的双侧 0.9 置信区间

• 对于正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$，样本方差 $S^2$ 满足 $\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n - 1)$，其中 $\chi^2(n - 1)$ 表示自由度为 $n - 1$ 的 $\chi^2$ 分布。
• 对于双侧置信区间，给定置信水平 $1 - \alpha$，$\sigma^2$ 的置信区间为 $\left(\frac{(n - 1)S^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)},\frac{(n - 1)S^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n - 1)}\right)$。
• 已知样本方差 $s^2 = 2.5^2 = 6.25$，样本容量 $n = 9$，置信水平为 $0.9$，所以 $\alpha=1 - 0.9 = 0.1$，$\frac{\alpha}{2}=0.05$，$1-\frac{\alpha}{2}=0.95$，自由度为 $n - 1 = 9 - 1 = 8$。
• 查 $\chi^2$ 分布表得 $\chi^2_{0.05}(8) = 15.507$，$\chi^2_{0.95}(8) = 2.733$。
• 将上述值代入置信区间公式可得：
  $\begin{align*}&\left(\frac{(9 - 1)\times2.5^2}{15.507},\frac{(9 - 1)\times2.5^2}{2.733}\right)\\=&\left(\frac{8\times6.25}{15.507},\frac{8\times6.25}{2.733}\right)\\\approx&(3.224, 18.295)\end{align*}$