题目

26、设 approx N(3,(2)^2)-|||-(1)求 2lt xleqslant 5 , -4lt xleqslant 10 , |1|gt 2 , Xgt 3 -|||-(2)确定c使得 Xgt C =P Xleqslant c -|||-(3)设d满足 Xgt d geqslant 0.9, 问d至多为多少?

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算、标准化转换、对称性应用以及分位数的求解。

解题核心思路：

  1. 标准化转换：将非标准正态分布转化为标准正态分布，利用标准正态分布表查概率。
  2. 对称性应用：正态分布的对称性可快速确定中位数。
  3. 分位数求解：通过概率不等式反推临界值，需注意分位数的定义及查表方法。

破题关键点：

  • 标准化公式：$Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$，将原变量转化为标准正态变量。
  • 概率拆分与组合：如$P(|X| > 2)$需拆分为左右两侧概率之和。
  • 中位数性质：正态分布的中位数等于均值。
  • 分位数方向：注意概率不等式方向与分位数符号的关系。

(1) 概率计算

$P\{2 < X \leq 5\}$

  1. 标准化：
    $Z_1 = \dfrac{2 - 3}{2} = -0.5, \quad Z_2 = \dfrac{5 - 3}{2} = 1$
  2. 查标准正态分布表：
    $P(-0.5 < Z \leq 1) = \Phi(1) - \Phi(-0.5) = 0.8413 - 0.3085 = 0.5328$

$P\{-4 < X \leq 10\}$

  1. 标准化：
    $Z_1 = \dfrac{-4 - 3}{2} = -3.5, \quad Z_2 = \dfrac{10 - 3}{2} = 3.5$
  2. 查标准正态分布表：
    $P(-3.5 < Z \leq 3.5) \approx \Phi(3.5) - \Phi(-3.5) = 0.9998 - 0.0002 = 0.9996$

$P\{|X| > 2\}$

  1. 拆分为两侧概率：
    $P(X < -2) + P(X > 2)$
  2. 标准化：
    $Z_1 = \dfrac{-2 - 3}{2} = -2.5, \quad Z_2 = \dfrac{2 - 3}{2} = -0.5$
  3. 查标准正态分布表：
    $P(Z < -2.5) + P(Z > -0.5) = \Phi(-2.5) + [1 - \Phi(-0.5)] = 0.0062 + 0.6915 = 0.6977$

$P\{X > 3\}$

  1. 对称性：
    $P(X > \mu) = 0.5$

(2) 确定$c$

  1. 概率相等条件：
    $P(X > c) = P(X \leq c) \implies P(X \leq c) = 0.5$
  2. 中位数性质：
    正态分布的中位数等于均值，故$c = \mu = 3$。

(3) 确定$d$的最大值

  1. 概率不等式转换：
    $P(X > d) \geq 0.9 \implies P(X \leq d) \leq 0.1$
  2. 标准化：
    $Z = \dfrac{d - 3}{2} \implies \Phi\left(\dfrac{d - 3}{2}\right) \leq 0.1$
  3. 查分位数：
    $\Phi^{-1}(0.1) \approx -1.29$，故：
    $\dfrac{d - 3}{2} = -1.29 \implies d = 3 - 2.58 = 0.42$