题目

3【填空题】一系统是由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且必须至少由80%的部件正常工作，系统才能正常工作，问n至少为____，才能使系统正常工作的概率不低于0.95.

3【填空题】一系统是由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且必须至少由80%的部件正常工作，系统才能正常工作，问n至少为____，才能使系统正常工作的概率不低于0.95.

题目解答

答案

设 $ X $ 表示 $ n $ 个部件中正常工作的部件数，$ X $ 服从二项分布 $ \text{Binomial}(n, 0.9) $。当 $ n $ 较大时，$ X $ 近似服从正态分布 $ N(0.9n, 0.09n) $。 标准化得 $ Z = \frac{X - 0.9n}{0.3\sqrt{n}} $，需满足 \[ P\left(Z \geq -\frac{\sqrt{n}}{3}\right) \geq 0.95. \] 由标准正态分布表，$ \Phi(1.645) \approx 0.95 $，故 \[ \frac{\sqrt{n}}{3} \geq 1.645 \implies n \geq (4.935)^2 \approx 24.35. \] 取整数得 $ n \geq 25 $。 **答案：** $\boxed{25}$

解析

本题考查二项分布的正态近似以及正态分布的概率计算。解题思路如下：

  1. 首先明确系统正常工作的条件，即至少有$80\%$的部件正常工作，设$X$为$n$个部件中正常工作的部件数，$X$服从二项分布$B(n,0.9)$。
  2. 当$n$较大时，根据中心极限定理，二项分布$B(n,p)$近似服从正态分布$N(np,np(1 - p))$，这里$p = 0.9$，所以$X$近似服从正态分布$N(0.9n,0.9\times(1 - 0.9)n)=N(0.9n,0.09n)$。
  3. 对$X$进行标准化，令$Z=\frac{X - 0.9n}{0.3\sqrt{n}}$，$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$。
  4. 系统正常工作意味着$X\geq0.8n$，那么$P(X\geq0.8n)$就可以转化为$P\left(Z\geq\frac{0.8n - 0.9n}{0.3\sqrt{n}}\right)=P\left(Z\geq-\frac{\sqrt{n}}{3}\right)$。
  5. 已知系统正常工作的概率不低于$0.95$，即$P\left(Z\geq-\frac{\sqrt{n}}{3}\right)\geq0.95$。
  6. 因为标准正态分布的性质$P\left(Z\geq-\frac{\sqrt{n}}{3}\right)=1 - P\left(Z\lt-\frac{\sqrt{n}}{3}\right)$，且$P\left(Z\lt-\frac{\sqrt{n}}{3}\right)=\varPhi\left(-\frac{\sqrt{n}}{3}\right)$，又$\varPhi(-z)=1-\varPhi(z)$，所以$P\left(Z\geq-\frac{\sqrt{n}}{3}\right)=\varPhi\left(\frac{\sqrt{n}}{3}\right)$。
  7. 查标准正态分布表可知$\varPhi(1.645)\approx0.95$，所以$\frac{\sqrt{n}}{3}\geq1.645$。
  8. 解不等式$\frac{\sqrt{n}}{3}\geq1.645$，两边同时乘以$3$得到$\sqrt{n}\geq1.645\times3 = 4.935$。
  9. 两边同时平方可得$n\geq4.935^2\approx24.35$。
  10. 由于$n$为部件个数，必须为整数，所以$n$至少取$25$。