题目
三、填空题-|||-10.已知随机变量X有三个不同的取值,分别是0,-|||-1,x,其中 in (0,1), 又 (X=0)=dfrac (1)(4) (X=1)-|||-=dfrac (1)(4), 则随机变量X方差的最小值为 __ .-|||-11.(2023·山东青岛二模)某市高三年级男生的-|||-身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(175,-|||-σ^2),已知 (175leqslant Xlt 180)=0.2, 若 (Xleqslant a)-|||-in [ 0,3,0.5] . 写出一个符合条件的实数a的-|||-值 __ .-|||-12.(2023·山东滨州二模)一个袋子中装有除颜-|||-色外完全相同的5个球,其中2个白球,3个黑-|||-球,现从袋子中有放回地随机取球4次,每次-|||-取一个球,取到白球记2分,取到黑球记0分,-|||-记4次取球的总分数为X,则X的方差 D(X)=-|||-__ .-|||-13.某单位有10000名职工,想通过验血的方法筛-|||-查乙肝病毒携带者,假设携带病毒的人占5%,-|||-如果对每个人的血样逐一化验,就需要化验-|||-10000次.统计专家提出了一种化验方法:随-|||-机地按5人一组分组,然后将各组5个人的血-|||-样混合再化验,如果混合血样呈阴性,说明这5-|||-个人全部阴性;如果混合血样呈阳性,说明其-|||-中至少有一人的血样呈阳性,就需要对每个人-|||-再分别化验一次.按照这种化验方法,平均每-|||-个人需要化验 __ 次.(结果保留四位有-|||-效数字)(参考数据: (0.95)^5approx 0.7738 (0.95)^6approx -|||-.7351,(0.95)^7approx 0.6983
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算随机变量X的期望
由题意，$P(X=0)=\dfrac {1}{4}$, $P(X=1)=\dfrac {1}{4}$, $P(X=x)=\dfrac {1}{2}$, 所以随机变量X的均值 $E(X)=0\times \dfrac {1}{4}+1\times \dfrac {1}{4}+x\times \dfrac {1}{2}=\dfrac {2x+1}{4}$.
步骤 2：计算随机变量X的方差
方差 $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$.
$E(X^2)=0^2\times \dfrac {1}{4}+1^2\times \dfrac {1}{4}+x^2\times \dfrac {1}{2}=\dfrac {2x^2+1}{4}$.
$[E(X)]^2=(\dfrac {2x+1}{4})^2=\dfrac {4x^2+4x+1}{16}$.
所以 $D(X)=\dfrac {2x^2+1}{4}-\dfrac {4x^2+4x+1}{16}=\dfrac {4x^2-4x+3}{16}=\dfrac {1}{16}(4x^2-4x+3)$.
步骤 3：求方差的最小值
$D(X)=\dfrac {1}{16}(4x^2-4x+3)=\dfrac {1}{16}[(2x-1)^2+2]$.
当 $x=\dfrac {1}{2}$ 时，$D(X)$ 取到最小值 $\dfrac {1}{8}$.
【答案】
$\dfrac {1}{8}$
11. 题目：某市高三年级男生的 身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(175, σ^2),已知 $P(175\leqslant X\lt 180)=0.2$ ,若 $P(X\leqslant a)$ $\in [ 0,3,0.5] $ 写出一个符合条件的实数a的 值 __ _.
【解析】
步骤 1：计算 $P(X\leqslant 170)$
因为 $X\sim N(175,{\sigma }^{2})$ ,且 $P(175\leqslant X\lt 180)=0.2$ ,则 $P(X\leqslant 170)=P(X\geqslant 180)=0.5-0.2=0.3$.
步骤 2：计算 $P(X\leqslant 175)$
$P(X\leqslant 175)=0.5$.
步骤 3：确定符合条件的实数a的值
若 $P(X\leqslant a)\in [ 0.3,0.5] $ ,则 $a\in [170,175]$.
由题意，$P(X=0)=\dfrac {1}{4}$, $P(X=1)=\dfrac {1}{4}$, $P(X=x)=\dfrac {1}{2}$, 所以随机变量X的均值 $E(X)=0\times \dfrac {1}{4}+1\times \dfrac {1}{4}+x\times \dfrac {1}{2}=\dfrac {2x+1}{4}$.
步骤 2：计算随机变量X的方差
方差 $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$.
$E(X^2)=0^2\times \dfrac {1}{4}+1^2\times \dfrac {1}{4}+x^2\times \dfrac {1}{2}=\dfrac {2x^2+1}{4}$.
$[E(X)]^2=(\dfrac {2x+1}{4})^2=\dfrac {4x^2+4x+1}{16}$.
所以 $D(X)=\dfrac {2x^2+1}{4}-\dfrac {4x^2+4x+1}{16}=\dfrac {4x^2-4x+3}{16}=\dfrac {1}{16}(4x^2-4x+3)$.
步骤 3：求方差的最小值
$D(X)=\dfrac {1}{16}(4x^2-4x+3)=\dfrac {1}{16}[(2x-1)^2+2]$.
当 $x=\dfrac {1}{2}$ 时，$D(X)$ 取到最小值 $\dfrac {1}{8}$.
【答案】
$\dfrac {1}{8}$
11. 题目：某市高三年级男生的 身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(175, σ^2),已知 $P(175\leqslant X\lt 180)=0.2$ ,若 $P(X\leqslant a)$ $\in [ 0,3,0.5] $ 写出一个符合条件的实数a的 值 __ _.
【解析】
步骤 1：计算 $P(X\leqslant 170)$
因为 $X\sim N(175,{\sigma }^{2})$ ,且 $P(175\leqslant X\lt 180)=0.2$ ,则 $P(X\leqslant 170)=P(X\geqslant 180)=0.5-0.2=0.3$.
步骤 2：计算 $P(X\leqslant 175)$
$P(X\leqslant 175)=0.5$.
步骤 3：确定符合条件的实数a的值
若 $P(X\leqslant a)\in [ 0.3,0.5] $ ,则 $a\in [170,175]$.