题目

2.总体 sim N(mu ,(sigma )^2), σ^2已知,问样本容量n取多大时才能保证μ的置信水平为95%的-|||-置信区间的长度不大于k.

题目解答

本题考查方差已知时正态总体均值的区间估计相关知识。解题的关键思路是先根据已知条件写出总体均值$\mu$的置信水平为$95\%$的置信区间，进而得出该置信区间的长度表达式，然后根据置信区间长度不大于$k$这一条件建立不等式，最后求解不等式得到样本容量$n$的取值范围。

确定$\mu$的置信水平为$95\%$的置信区间：
已知总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}$已知，样本均值为$\overline{X}$。根据正态分布的性质，$\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$。
对于置信水平为$1 - \alpha = 0.95$，则$\alpha = 0.05$，$\frac{\alpha}{2}=0.025$。
查标准正态分布表可得$z_{\frac{\alpha}{2}} = z_{0.025}=1.96$。
所以$\mu$的置信水平为$95\%$的置信区间为$\left(\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$，即$\left(\overline{X}-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$。
计算置信区间的长度：
置信区间的长度$L$等于上限减去下限，即$L = (\overline{X}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}})-(\overline{X}-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$。
对其进行化简：
$\begin{align*}L&=\overline{X}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}-\overline{X}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\\&=2\times1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\\&=\frac{3.92\sigma}{\sqrt{n}}\end{align*}$
根据条件建立不等式并求解$n$：
已知置信区间的长度不大于$k$，即$L\leq k$，也就是$\frac{3.92\sigma}{\sqrt{n}}\leq k$。
因为$n\gt0$，不等式两边同时乘以$\sqrt{n}$，得到$3.92\sigma\leq k\sqrt{n}$。
再将不等式两边同时除以$k$（$k\gt0$），得到$\frac{3.92\sigma}{k}\leq\sqrt{n}$。
最后不等式两边同时平方，可得$n\geq(\frac{3.92\sigma}{k})^2$。