题目

设_(xy)=sum _(i=1)^4((x)_(i)-overline (x))((y)_(i)-overline (y))，_(xy)=sum _(i=1)^4((x)_(i)-overline (x))((y)_(i)-overline (y))，则样本相关系数与回归系数的数量关系是（）。A._(xy)=sum _(i=1)^4((x)_(i)-overline (x))((y)_(i)-overline (y))B._(xy)=sum _(i=1)^4((x)_(i)-overline (x))((y)_(i)-overline (y))C._(xy)=sum _(i=1)^4((x)_(i)-overline (x))((y)_(i)-overline (y))D._(xy)=sum _(i=1)^4((x)_(i)-overline (x))((y)_(i)-overline (y))

设 $L_{xy}=\sum_{ }^{ }(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})$ ， $L_{xx}=\sum_{ }^{ }(x_i-\overline{x})^2,L_{yy}=\sum_{ }^{ }(y_i-\overline{y})^2$ ，则样本相关系数与回归系数的数量关系是（）。

A. $\hat { \beta _1} = \gamma \sqrt { \frac{L_{yy}}{L_{xx}} }$

B. $\gamma = \sqrt {1- \hat \beta _1^2}$

C. $\gamma = \hat \beta _1 \sqrt { \frac{L_{yy}}{L{xx}} }$

D. $\hat { \beta _1} = \gamma \sqrt {\frac{L{xx}}{L_{yy}} }$

题目解答

答案

已知 $L_{xy}=\sum_{ }^{ }(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})$ ， $L_{xx}=\sum_{ }^{ }(x_i-\overline{x})^2,L_{yy}=\sum_{ }^{ }(y_i-\overline{y})^2$ ，样本相关系数 $\gamma=\frac{L_{xy}}{\sqrt{L_{xx}L_{yy}}}$ ，则回归系数 $\hat{\beta}_{1}=\frac{L_{xy}}{L_{xx}}=\gamma\frac{\sqrt{L_{xx}L_{yy}}}{L_{xx}}=\gamma\sqrt{\frac{L{yy}}{L_{xx}}}$ ，则 $\gamma=\hat{\beta}_{1}\sqrt{\frac{L_{xx}}{L_{yy}}}$ ，因此选择A。

解析

步骤 1：定义样本相关系数
样本相关系数$r$定义为：$r=\dfrac{{L}_{xy}}{\sqrt{{L}_{xx}{L}_{yy}}}$，其中${L}_{xy}=\sum _{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline {x})({y}_{i}-\overline {y})$，${L}_{xx}=\sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-\overline {x})}^{2}$，${L}_{yy}=\sum _{i=1}^{n}{({y}_{i}-\overline {y})}^{2}$。
步骤 2：定义回归系数
回归系数${\hat {\beta }}_{1}$定义为：${\hat {\beta }}_{1}=\dfrac{{L}_{xy}}{{L}_{xx}}$。
步骤 3：推导回归系数与样本相关系数的关系
将样本相关系数$r$的定义代入回归系数${\hat {\beta }}_{1}$的定义中，得到${\hat {\beta }}_{1}=\dfrac{{L}_{xy}}{{L}_{xx}}=\dfrac{{L}_{xy}}{\sqrt{{L}_{xx}{L}_{yy}}}\sqrt{\dfrac{{L}_{yy}}{{L}_{xx}}}=r\sqrt{\dfrac{{L}_{yy}}{{L}_{xx}}}$。